% 表題   DCPAM5  物理過程をまとめた連立一次方程式の構成
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% 履歴
%\Drireki{2010/04/15 高橋芳幸}
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%  \Dchapterhead
\chapter{熱収支を統合した連立方程式の構成}
\Dchaplab{熱収支を統合した連立方程式の構成}


\section{離散表現}

\ref{sec:disc:heatbudget} 節において, 大気中の熱拡散における収支, 
大気中の水蒸気の拡散の収支, 
惑星表面の 1 層モデルの熱収支, 
惑星表面および土壌中の熱拡散の収支, 
海氷面上の熱収支について書いた. 
既に書いたように, これらはそれぞれ単独では必ずしも閉じておらず, 
適宜組み合わせて連立方程式を構成する必要がある. 
ここでは, 以下の 3 通りの組み合わせ方を示す. 
%
\begin{itemize}
\item 惑星表面に 1 層モデルを用いる場合
\item 土壌熱拡散モデルを用いる場合
\item 海氷熱収支モデルを用いる場合
\end{itemize}


\subsection{惑星表面に 1 層モデルを用いる場合}

ここでは, 惑星表面に 1 層モデルを用いる場合を考える. 
このとき, 大気中の熱拡散の収支式 (\ref{eq:disc:heatdiff}),
惑星表面の 1 層モデルの熱収支式 (\ref{eq:disc:surface1layermodelheatbudget}), 
水蒸気拡散による収支式 (\ref{eq:disc:watervapordiff}) を同時に解く. 
これらの式をまとめると下のように整理される. 
%
\begin{eqnarray}
    \Dvect{D} \Dvect{x}_{hq} = \Dvect{G}_{hq}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  \Dvect{x}_{hq} &=& \left( 
      q_{k_{max}}^{t+\Delta t} - q_{k_{max}}^{t-\Delta t}, 
      ..., 
      q_2^{t+\Delta t} - q_2^{t-\Delta t},
      q_1^{t+\Delta t} - q_1^{t-\Delta t}, \right.  \nonumber
\\
      & & 
      T_s^{t+\Delta t} - T_s^{t-\Delta t},  \nonumber
\\
      & & \left. 
      T_1^{t+\Delta t} - T_1^{t-\Delta t}, 
      T_2^{t+\Delta t} - T_2^{t-\Delta t},
      ..., 
      T_{k_{max}}^{t+\Delta t} - T_{k_{max}}^{t-\Delta t} \right), 
\\
    &=& \left( 
      \Delta q_{k_{max}}, 
      ..., 
      \Delta q_2,
      \Delta q_1, \right.  \nonumber
\\
      & & 
      \Delta T_s,  \nonumber
\\
      & & \left. 
      \Delta T_1, 
      \Delta T_2,
      ..., 
      \Delta T_{k_{max}} \right), 
\\
  \Dvect{G}_{hq} &=& \left( g_{q,k_{max}}, ..., g_{q,2}, g_{q,1}, g_{s,0}, g_{h,1}, g_{h,2}, ..., g_{h,k_{max}} \right), 
\end{eqnarray}

\Dvect{D} の各成分は, $k \le -1$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{-k,k+1} &=& c_{k,k-1}
\\
  d_{-k,k  } &=& c_{k,k  }
\\
  d_{-k,k-1} &=& c_{k,k+1}
\end{eqnarray}
%
であり, $k = 0$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{s,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{s,k,k  }
\\
  d_{k,k+1} &=& b_{s,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
であり, $k \ge 1$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{a,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{a,k,k  }
\\
  d_{k,k+1} &=& b_{a,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
である. 
なお, $b_{a,k,k}$ などと $c_{k,k}$ などの定義は
\Dchapref{乱流過程} において, 
$b_{s,k,k}$ などの定義は
\Dchapref{惑星表面・地下の熱収支} においてなされている.

この連立一次方程式式を解いて求めた $\Dvect{x}_{hq}$ を用いて, 鉛直乱流混合
による時間変化率を下のように計算する. 
%
\begin{eqnarray}
  \left( \frac{\partial T}{\partial t} \right)_k &=& \frac{ \Delta T_k }{ 2 \Delta t },
\\
  \left( \frac{\partial T_s}{\partial t} \right) &=& \frac{ \Delta T_s }{ 2 \Delta t },
\\
  \left( \frac{\partial q}{\partial t} \right)_k &=& \frac{ \Delta q_k }{ 2 \Delta t }.
\end{eqnarray}


\subsection{土壌熱拡散モデルを用いる場合}

ここでは, 土壌熱拡散モデルを用いる場合を考える. 
このとき, 大気中の熱拡散の収支式 (\ref{eq:disc:heatdiff}), 
土壌熱拡散の熱収支式 (\Deqref{energybudget-disc:soilheatdiff}) を同時に解く. 
これらの式をまとめると下のように整理される. 
%
\begin{eqnarray}
    \Dvect{D} \Dvect{x}_{hg} = \Dvect{G}_{hg}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  \Dvect{x}_{hg} &=& \left( 
      T_{g,k_{s,max}}^{t+\Delta t} - T_{g,k_{s,max}}^{t-\Delta t}, 
      ..., 
      T_{g,2}^{t+\Delta t} - T_{g,2}^{t-\Delta t},
      T_{g,1}^{t+\Delta t} - T_{g,1}^{t-\Delta t}, \right.  \nonumber
\\
      & & 
      T_s^{t+\Delta t} - T_s^{t-\Delta t},  \nonumber
\\
      & & \left. 
      T_1^{t+\Delta t} - T_1^{t-\Delta t}, 
      T_2^{t+\Delta t} - T_2^{t-\Delta t},
      ..., 
      T_{k_{max}}^{t+\Delta t} - T_{k_{max}}^{t-\Delta t} \right), 
\\
  &=& \left( 
      \Delta T_{g,k_{s,max}}, 
      ..., 
      \Delta T_{g,2},
      \Delta T_{g,1}, \right.  \nonumber
\\
      & & 
      \Delta T_s,  \nonumber
\\
      & & \left. 
      \Delta T_1, 
      \Delta T_2,
      ..., 
      \Delta T_{k_{max}} \right), 
\\
  \Dvect{G}_{hg} &=& \left( g_{g,k_{s,max}}, ..., g_{g,2}, g_{g,1}, g_{s,0}, g_{h,1}, g_{h,2}, ..., g_{h,k_{max}} \right), 
\end{eqnarray}

\Dvect{D} の各成分は, $k \le 0$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{-k,k+1} &=& b_{g,k,k-1}
\\
  d_{-k,k  } &=& b_{g,k,k  }
\\
  d_{-k,k-1} &=& b_{g,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
であり, $k \ge 1$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{a,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{a,k,k  }
\\
  d_{k,k+1} &=& b_{a,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
である.


この連立一次方程式式を解いて求めた $\Dvect{x}_{hq}$ を用いて, 鉛直乱流混合
による時間変化率を下のように計算する. 
%
\begin{eqnarray}
  \left( \frac{\partial T}{\partial t} \right)_k &=& \frac{ \Delta T_k }{ 2 \Delta t },
\\
  \left( \frac{\partial T_s}{\partial t} \right) &=& \frac{ \Delta T_s }{ 2 \Delta t },
\\
  \left( \frac{\partial T_g}{\partial t} \right)_k &=& \frac{ \Delta T_{g,k} }{ 2 \Delta t }.
\end{eqnarray}



\subsection{海氷熱収支モデルを用いる場合}

ここでは, 海氷熱収支モデルを用いる場合を考える. 
このとき, 大気中の熱拡散の収支式 (\ref{eq:disc:heatdiff}), 
海氷面上の熱収支式 (\ref{eq:disc:seaiceheatbudget}), を同時に解く
\footnote
{
  現在考えている海氷熱収支モデルは 1 層であり, 水蒸気の熱収支式を含めて定式化
  しても, 行列は三重対角行列にすることはできる. 
  しかし, 現状ではそのような定式化は用意していない. 
}. 
これらの式をまとめると下のように整理される. 
%
\begin{eqnarray}
    \Dvect{D} \Dvect{x}_{hi} = \Dvect{G}_{hi}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  \Dvect{x}_{hi} &=& \left( 
      T_s^{t+\Delta t} - T_s^{t-\Delta t}, \right. \nonumber
\\
      & & \left. 
      T_1^{t+\Delta t} - T_1^{t-\Delta t}, 
      T_2^{t+\Delta t} - T_2^{t-\Delta t},
      ..., 
      T_{k_{max}}^{t+\Delta t} - T_{k_{max}}^{t-\Delta t} \right), 
\\
  \Dvect{G}_{hi} &=& \left( g_{i,0}, g_{h,1}, g_{h,2}, ..., g_{h,k_{max}} \right), 
\end{eqnarray}
%
\Dvect{D} の各成分は, $k = 0$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{i,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{i,k,k  }
\end{eqnarray}
%
であり, $k \ge 1$ のとき, 
%
\begin{eqnarray}
  d_{k,k-1} &=& b_{a,k,k-1}
\\
  d_{k,k  } &=& b_{a,k,k  }
\\
  d_{k,k+1} &=& b_{a,k,k+1}
\end{eqnarray}
%
である.