% 表題 DCPAM5 力学過程 鉛直離散化 % % 履歴 %\Drireki{2009/03/03 森川靖大} %\Drireki{2008/06/14 森川靖大} %\Drireki{1993/03/18 沼口敦・保坂征宏} % \section{離散表現: 鉛直離散化} ここでは支配方程式を鉛直方向に離散化する. Arakawa and Suarez(1983) に従って, \Deqref{連続の式}〜\Deqref{水蒸気の式} を鉛直方向に差分によって離散化する. 各方程式の離散化表現は次のようになる. \subsection{連続の式, 鉛直速度} \vspace*{-5ex} \begin{align} \DP{\pi}{t} &= - \sum_{k=1}^{K} ( D_k + \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_k, \\ \dot{\sigma}_{k-1/2} &= - \sigma_{k-1/2} \DP{\pi}{t} - \sum_{l=k}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \qquad (k = 2, \cdots, K), \\ \dot{\sigma}_{1/2} &= \dot{\sigma}_{K+1/2} = 0. \end{align} % ここで, % \begin{align} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi = \frac{U_k}{a (1-\mu^2)} \DP{\pi}{\lambda} + \frac{V_k}{a (1-\mu^2)} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu}. \end{align} % \subsection{静水圧の式} \vspace*{-5ex} \begin{align} \begin{split} \Phi_{1} & = \Phi_{s} + C_{p} ( \sigma_{1}^{-\kappa} - 1 ) T_{v,1} \\ & = \Phi_{s} + C_{p} \alpha_{1} T_{v,1}. \end{split} \end{align} % \begin{align} \begin{split} \Phi_k - \Phi_{k-1} & = C_{p} \left[ \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_k } \right)^{\kappa} - 1 \right] T_{v,k} + C_{p} \left[ 1- \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa} \right] T_{v,k-1} \\ & = C_{p} \alpha_k T_{v,k} + C_{p} \beta_{k-1} T_{v,k-1}. \end{split} \end{align} % ここで, % \begin{align} \Deqlab{静水圧係数α} \alpha_k & = \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} } { \sigma_k } \right)^{\kappa} -1 , \\ \Deqlab{静水圧係数β} \beta_k & = 1- \left( \frac{ \sigma_{k+1/2} } { \sigma_k } \right)^{\kappa} , \\ \Deqlab{地表ジオポテンシャル} \Phi_{s} & = gz_{s} \end{align} % であり, $z_{s}$は地表面高度である. \subsection{運動方程式} \vspace*{-5ex} \begin{align} \Deqlab{渦度方程式の鉛直差分} \DP{\zeta_k}{t} & = \Dinv{a} \left( \Dinv{1 - \mu^2} \DP{{V_A}_{,k}}{\lambda} - \DP{{U_A}_{,k}}{\mu} \right) + {\cal D}(\zeta_k), \\ \Deqlab{発散方程式の鉛直差分} \DP{D_k}{t} & = \Dinv{a} \left( \Dinv{1 - \mu^2} \DP{{U_A}_{,k}}{\lambda} + \DP{{V_A}_{,k}}{\mu} \right) - \nabla^{2}_{\sigma} ( \Phi_k + C_{p} \hat{\kappa}_k \overline{T}_k \pi + (\mbox{\sl KE})_k ) + {\cal D}(D_k). \end{align} % ここで, % \begin{align} \begin{split} {U_A}_{,1} & = ( \zeta_1 + f ) V_1 - \frac{1}{2 \Delta \sigma_1} \dot{\sigma}_{3/2} ( U_1 - U_2 ) - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_1 T_{v,1}'}{a} \DP{\pi}{\lambda} + {\cal F}_{\lambda, 1} \cos \varphi, \\ {U_A}_{,k} & = ( \zeta_k + f ) V_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( U_{k-1} - U_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( U_k - U_{k+1} ) ] \\ & \quad - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a} \DP{\pi}{\lambda} + {\cal F}_{\lambda, k} \cos \varphi, \qquad (k=2, \cdots, K-1) \\ {U_A}_{,K} & = ( \zeta_K + f ) V_K - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} \dot{\sigma}_{K-1/2} ( U_{K-1} - U_K ) - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_K T_{v,K}'}{a} \DP{\pi}{\lambda} + {\cal F}_{\lambda, K} \cos \varphi, \end{split} \end{align} % \begin{align} \begin{split} {V_A}_{,1} & = - ( \zeta_1 + f ) U_1 - \frac{1}{2 \Delta \sigma_1} \dot{\sigma}_{3/2} ( V_1 - V_2 ) - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_1 T_{v,1}'}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} + {\cal F}_{\varphi, 1} \cos \varphi, \\ {V_A}_{,k} & = - ( \zeta_k + f ) U_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( V_{k-1} - V_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( V_k - V_{k+1} ) ] \\ & \quad - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} + {\cal F}_{\varphi, k} \cos \varphi, \qquad (k=2, \cdots, K-1) \\ {V_A}_{,K} & = - ( \zeta_K + f ) U_K - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} \dot{\sigma}_{K-1/2} ( V_{K-1} - V_K ) \\ & \quad - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_K T_{v,K}'}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} + {\cal F}_{\varphi, K} \cos \varphi, \end{split} \end{align} % \begin{align} \begin{split} \Deqlab{鉛直差分のκの定義} \hat{\kappa}_k & = \frac{ \sigma_{k-1/2}( \sigma^{\kappa}_{k-1/2} - \sigma^{\kappa}_k ) + \sigma_{k+1/2}( \sigma^{\kappa}_k - \sigma^{\kappa}_{k+1/2} ) } { \sigma^{\kappa}_k ( \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2} ) } \\ & = \frac{ \sigma_{k-1/2} \alpha_k + \sigma_{k+1/2} \beta_k } { \Delta \sigma_k }, \end{split} \\ % T_{v,k}' & = T_{v,k} - \overline{T}_k, \\ % (\mbox{\sl KE})_k &= \frac{U^{2}_k + V^{2}_k}{2 (1-\mu^2)}. \end{align} \subsection{熱力学の式} \vspace*{-5ex} \begin{align} \begin{split} \DP{T_k}{t} & = - \Dinv{a \cos \varphi} \left( \Dinv{1 - \mu^2} \DP{U_k T^{\prime}_k}{\lambda} + \DP{V_k T^{\prime}_k}{\mu} \right) + H_k \\ & \quad + \frac{Q_k}{C_{p}} + {\cal D}(T_k) + {\cal D}'(\Dvect{v}). \end{split} \end{align} % ここで, \begin{align} \begin{split} H_k & \equiv T_k' D_k - \frac{1}{\Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T}_{k-1/2} - T_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T_k - \hat{T}_{k+1/2} ) ] \\ & \quad + \left\{ \alpha_k \left[ \sigma_{k-1/2} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi - \sum_{l=k}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \right] \right. \\ & \quad + \quad \left. \beta_k \left[ \sigma_{k+1/2} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi - \sum_{l=k+1}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \right] \right\} \frac{1}{\Delta \sigma_k} T_{v,k} \\ % & = T_k' D_k - \frac{1}{\Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T}_{k-1/2} - T_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T_k - \hat{T}_{k+1/2} ) ] \\ & \quad + \hat{\kappa}_k \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi T_{v,k} \\ & \quad - \alpha_k \sum_{l=k}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \frac{T_{v,k}}{\Delta \sigma_k} \\ & \quad - \beta_k \sum_{l=k+1}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_l \frac{T_{v,k}}{\Delta \sigma_k} \qquad (k=1, \cdots, K-1), \\ % H_K & \equiv T_K' D_K - \frac{1}{\Delta \sigma_K} [ \dot{\sigma}_{K-1/2} ( \hat{T}_{K-1/2} - T_K ) + \dot{\sigma}_{K+1/2} ( T_K - \hat{T}_{K+1/2} ) ] \\ & \quad + \hat{\kappa}_K \Dvect{v}_K \cdot \nabla \pi T_{v,K} \\ & \quad - \alpha_K ( D_K + \Dvect{v}_K \cdot \nabla \pi ) \Delta \sigma_K \frac{T_{v,K}}{\Delta \sigma_K} \end{split} \end{align} % であり, % \begin{align} \begin{split} \hat{T}_{k-1/2} & = \frac{ \left[ \left( \displaystyle \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_k } \right)^{\kappa} - 1 \right] \sigma_{k-1}^{\kappa} T_k + \left[ 1 - \left( \displaystyle \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa} \right] \sigma_k^{\kappa} T_{k-1} } { \sigma_{k-1}^{\kappa} - \sigma_k^{\kappa} } \\ & = a_k T_k + b_{k-1} T_{k-1} \qquad \quad (k = 2, \cdots, K), \\ \hat{T}_{1/2} & = 0, \\ \hat{T}_{K + 1/2} & = 0, \end{split} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{温度補間係数a} a_k & = \alpha_k \left[ 1- \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa} \right]^{-1}, \\ \Deqlab{温度補間係数b} b_k & = \beta_k \left[ \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k+1} } \right)^{\kappa} - 1 \right]^{-1} . \end{align} \subsection{水蒸気の式} \vspace*{-5ex} \begin{align} \Deqlab{水蒸気の式の鉛直離散化} \DP{q_k}{t} & = - \Dinv{a} \left( \Dinv{1 - \mu^2} \DP{U_k q_k}{\lambda} + \DP{V_k q_k}{\mu} \right) + R_k + S_{q,k} + {\cal D}(q_k). \end{align} % ここで, % \begin{align} \Deqlab{水蒸気の変化Ｒ} \begin{split} R_1 &= q_1 D_1 - \frac{1}{2 \Delta \sigma_1} \dot{\sigma}_{ 3/2} ( q_1 - q_{2} ) , \\ R_k &= q_k D_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} \left[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( q_{k-1} - q_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( q_k - q_{k+1} ) \right], \qquad (k=2,\cdots,K-1) \\ R_K &= q_K D_K - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} \dot{\sigma}_{K-1/2} ( q_{K-1} - q_K ) . \end{split} \end{align} \subsection{鉛直差分に関する補足} \footnote{(2011-09-07 石渡) この節はまだ編集中である.} Arakawa and Suarez (1983) による鉛直差分の取り方に関して, 説明を 追加しておく. Arakawa and Suarez (1983) の鉛直差分式は以下の特徴を持つ. \begin{itemize} \item 圧力勾配項の鉛直積分を地形に沿った閉曲線に沿って線積分 すると 0 になる (Arakawa and Suarez, 1983 は循環が 0 になるという書き方をしている) これは運動方程式の圧力勾配項に関する条件である. (地形無しの場合には角運動量が保存することを意味する). \item 熱エネルギーと運動エネルギーとの変換項の有限差分近似は 運動エネルギーの式でも熱エネルギーの式でも 同じ形をとる. \item $\theta$ の全球質量積分(?) が断熱過程で保存されることが保証されている (保存, が指す具体的な内容は? flux form に準拠した差分式に なっている, で正しい?) \item 静水圧の式から得られる最下層の層厚は local な形をしている \item 静水圧の式の差分形は鉛直方向にエントロピー一様な大気において 正確な形をしている. \item $p_{top}=0$, 3 次元等エントロピー大気の場合 ($T= a + b (p/p_0)^{\kappa}$ の場合?) には, 圧力勾配項は正確な形になっている. \item しかし, $\theta$ の関数の global mass integral は断熱過程 で保存されない. \end{itemize} %彼らによって作られた差分式は以下の通りである. %\begin{itemize} %\item 連続の式 %\begin{equation} % \DP{}{t} \tilde{p_s} + \Ddiv (\tilde{p_s} \Dvect{v}_k) % + \left[ \frac{(\delta \tilde{p_s} \dot{\sigma})_{k}}{(\delta \sigma)_{k}}\right] % = 0 %\end{equation} % %\item 熱力学方程式 %\begin{eqnarray} % \DP{}{t} (\tilde{p_s} \theta_{k}) % + \nabla_{\sigma} (\tilde{p_s} \Dvect{v}_{k} \theta_{k}) % + \left[ \frac{\delta(\tilde{p_s} \dot{\sigma} \theta)}{\delta \sigma} % \right]_{k} %= 0 %\ \ \ \ \ \ \ AS1983 の (8.1) \Deqlab{(8.1)} %\end{eqnarray} %$\theta_{k-1/2}$ の計算には \Deqref{(8.5)} を使う. % %\item $\theta_{k-1/2}$ の補間式 %\begin{eqnarray} % \theta_{k-1/2} %& = & % \frac{ % ( \Pi_{k-1} - \Pi_{k-1/2} ) \theta_{k-1} % + ( \Pi_{k-1/2} - \Pi_{k} ) \theta_{k} % }{ % \Pi_{k-1} - \Pi_{k} % } \ \ \ \ \ AS1983 の (8.5) \Deqlab{(8.5)} %\end{eqnarray} % %\item 圧力勾配項 %\begin{equation} % - (\nabla_{p} \Phi)_{k} % = - \nabla_{\sigma} \Phi_{k} % - c_p \theta_{k} \nabla_{\sigma} \Pi_{k} % \ \ \ \ \ AS1983 の (8.2) \Deqlab{(8.2)} %\end{equation} % %\item 静水圧の式 %\begin{eqnarray} % \Phi_{1} - \Phi_{1/2} & = & c_p \theta_{1} (\Pi_{1/2} - \Pi_{ 1 }) % \ \ \ \ \ AS1983 の (8.3) \Deqlab{(8.3)}, \\ % \Phi_{k} - \Phi_{k-1/2} %& = & c_p % \left[ (\Pi_{k-1/2} - \Pi_{k}) \theta_{k} % + (\Pi_{k-1} - \Pi_{k-1/2}) \theta_{k-1} % \right] \nonumber \\ %& = & c_p \theta_{k-1/2} (\Pi_{k-1} - \Pi_{k}), \nonumber \\ %& & \ \ \ (2 \le k \le K), \ \ \ \ AS1983 の (8.4) \Deqlab{(8.4)} %\end{eqnarray} %ただし, 最後の変形では \Deqref{(8.5)} を使った. % % %\item 半整数グリッドの $\Pi$ %\begin{eqnarray} % \Pi_{k-1/2} = \left( \frac{p_{k-1/2}}{p_0} \right)^{\kappa} %\end{eqnarray} % %\item 整数グリッドの $\Pi$ %\Deqref{(6.28)}: %\begin{eqnarray} % \Pi_{k} %& = & \frac{1}{\kappa+1} % \left[ \frac{ p_{k-1/2} \Pi_{k-1/2} % - p_{k+1/2} \Pi_{k+1/2} % }{p_{k-1/2} - p_{k+1/2} } % \right], % \ \ \ \ \ AS1983 の (8.6) \Deqlab{(8.6)} %\end{eqnarray} % %\item $\DD{\Pi}{\tilde{p_s}}$ % %\Deqref{(6.4)} より, あるいは \Deqref{(8.6)} を微分して\footnotemark %\begin{eqnarray} % \DD{\Pi_{k}} {\tilde{p_s}} % = \frac{ \sigma_{k-1/2} (\Pi_{k-1/2} - \Pi_{k}) % - \sigma_{k+1/2} (\Pi_{k} - \Pi_{k+1/2}) % }{p_{k-1/2} - p_{k+1/2} } % \ \ \ \ \ AS1983 の (8.7) \Deqlab{(8.7)} %\end{eqnarray} %\footnotetext{ %この式, 未確認. %} %\end{itemize} \subsection{鉛直レベルの決め方} \footnote{(2011-02-22 石渡) この節はまだ編集中である.} AGCM5 では, L16 の設定として以下のものが使われてきた. \begin{table}[hbtp] \begin{center} \begin{tabular}{cc} \hline \hline $k$ & $\sigma_{k+1/2}$ \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0.990 \\ 2 & 0.970 \\ 3 & 0.930 \\ 4 & 0.870 \\ 5 & 0.790 \\ 6 & 0.700 \\ 7 & 0.600 \\ 8 & 0.500 \\ 9 & 0.410 \\ 10 & 0.330 \\ 11 & 0.260 \\ 12 & 0.200 \\ 13 & 0.150 \\ 14 & 0.100 \\ 15 & 0.050 \\ 16 & 0.000 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{AGCM5 の L16 計算で習慣的に使われてきた鉛直格子点の位置. $\sigma_{k+1/2}$ は半整数グリッドにおける $\sigma$ 座標値.} \Dtablab{vlevel_AGCM5_L16} \end{table}