\subsection{数理表現}

%Relaxed Arakawa-Schubert 積雲パラメタリゼーションの定式化は, 
%Arakawa and Schubert (1974) および 
%Moorthi and Suarez (1992) に従う. 
%
%ここでは, まず説明で用いる用語について解説し, 次に, 高度座標系での
%Relaxed Arakawa-Schubert 積雲パラメタリゼーションの表現を示す. 
%その後に, 大循環モデルで用いる, 気圧座標系での表現を示す. 
%
%\subsection{用語について}
%
%この文書では, 下の意味で「混合比」という用語を用いている
%\footnote{
%  大気科学あるいは気象学の世界では, 水蒸気量を表す単語として, 
%  乾燥大気密度に対する水蒸気密度の割合である「混合比」``mixing ratio'', 
%  $q = \rho_v / \rho_d$, と
%  全大気密度に対する水蒸気密度の割合である「比湿」``specific humidity'', 
%  $q = \rho_v / \rho_{total}$, の
%  二つがある (ここで, $\rho_v$, $\rho_d$, $\rho_{totao}$ はそれぞれ
%  水蒸気密度, 乾燥大気密度, 全大気密度である).
%  しかし, 雲水, 雲氷の量を表す言葉としては, 日本語には水蒸気におけるような
%  使い分けが存在しないようである (英語では, 混合比は ``mixing ratio'' と
%  ``specific cloud water content'' といったような二つの単語が使われている
%  らしい).
%  そこで, 本文書では, 「混合比」という単語を用いて, 全大気密度に対する割合, 
%  $q_x = \rho_x / \rho_{total}$, を表すことにする.
%}. 
%%
%\begin{align}
%  q_x &= \frac{\rho_x}{\rho_{total}}
%\end{align}
%%
%ここで, $\rho_x$ は物質 $x$ の密度であり, $\rho_{total}$ は全大気密度である. 


\subsubsection{高度座標系における方程式系}
\label{sec:math:z-axis}

積雲対流による温度, 比湿の時間変化率は下のように評価する. 
%
\begin{align}
  \left( \DP{T}{t} \right)_c 
    &= \frac{1}{C_p} \left( \DP{s}{t} \right)_c 
\\
  \left( \DP{q_v}{t} \right)_c 
    &= \frac{1}{L} \left\{ \left( \DP{h}{t} \right)_c - \left( \DP{s}{t} \right)_c \right\}
\\
  \left( \DP{q_l}{t} \right)_c 
    &= - \frac{1}{\rho} D'(z) q_l(z) r_l(z)
\\
  \left( \DP{s}{t} \right)_c 
    &=   \frac{1}{\rho} M_c \DP{s}{z} 
       - \frac{1}{\rho} L D'(z) q_l(z) \left\{ 1 - r_l(z) \right\}
\\
  \left( \DP{h}{t} \right)_c 
    &=   \frac{1}{\rho} M_c \DP{h}{z} 
       + \frac{1}{\rho} D'(z) q_l(z) \left\{ h^* - h \right\}
\\
  M_c(z) &= \int_0^{\lambda_D(z)} \eta_\lambda(z) m_B(\lambda) d\lambda
\\
  D'(z) &= - \eta_{\lambda_D}(z) m_B(\lambda_D) \DD{\lambda_D(z)}{z}
\end{align}
%
ここで, $s$, $h$ はそれぞれ乾燥静的エネルギーと湿潤静的エネルギーであり, 
$q_l$ は雲水混合比である. 
また, $r_l$ はデトレインメントされた雲水のうちで蒸発せずに残る割合である
\footnote{あるいは, デトレインメントされた雲水がすべて蒸発した後で凝結する割合である}. 
$\lambda$ はエントレインメントパラメータであり, 
$\lambda_D(z)$ は高度 $z$ が雲頂 (デトレインメント層) となる雲のエントレインメントパラメータである. 
$\eta_\lambda$, $m_B$ はそれぞれ規格化された質量フラックス, 
雲底における質量フラックスである. 

また, 積雲内の質量フラックスと湿潤静的エネルギーフラックスは
下の方程式を満たすとする
\footnote{
  ここでは, 積雲内での降水を無視している.
}. 
%
\begin{align}
  \DP{\eta_\lambda(z)}{z} &= \lambda
\\
  \DP{}{z} \left[ \eta_\lambda(z) \left\{ q_{v,\lambda}^c(z) + q_{l,\lambda}^c(z) \right\} \right]
    &= \DP{\eta_\lambda(z)}{z} q_v(z)
\\
  \DP{}{z} \left\{ \eta_\lambda(z) h_\lambda^c(z) \right\}
    &= \DP{\eta_\lambda(z)}{z} h(z)
\end{align}
%
$\eta$ の境界条件として, 雲底, $z = z_B$, において
%
\begin{align}
  \eta_\lambda(z_B) &= 1
\end{align}
%
とする.
%
また, 水蒸気量や湿潤静的エネルギーの下部境界条件は下のように与える.
%
\begin{align}
  h_\lambda^c(z_B) &= h(z_B)
\\
  q_{v,\lambda}^c(z_B) &= q_v(z_B)
\\
  q_{l,\lambda}^c(z_B) &= 0
\end{align}
%
また, デトレインメント層では, 
%
\begin{align}
  h_{\lambda_D}^c(z_D) &= h^*(z_D) = s(z_D) + L q_{v,\lambda_D}^c(z_D) = C_p T(z_D) + g z_D + L q_{v,\lambda_D}^c(z_D)
\\
  q_{v,\lambda_D}^c(z_D) &= q_v^*(z_D)
\end{align}
%
と仮定する.
%\footnote{
%  $\lambda_D$ は $z_D$ における $\lambda$ の値 ($\lambda_D = \lambda(z_D)$) で
%  あるため, $X_{\lambda_D}(z_D)$ という記法は意味が重複している. 
%  ここではとりあえず放置.
%}.
% そんなことないな. たぶん.


$m_B(\lambda) d\lambda$ は, 雲仕事関数を用いて求める. 
%
雲仕事関数, $A_\lambda$, は下のように定義する.
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &= \int_{z_B}^{z_D}
         \frac{g}{C_p T(z)} \eta_\lambda(z) \{ s_\lambda^c(z) - s(z) \} dz
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
  s_\lambda^c(z) - s(z) &\sim \frac{1}{1+\gamma(z)} \{ h_\lambda^c(z) - h^*(z) \}
\end{align}
%
であることを用いて,
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &\sim \int_{z_B}^{z_D}
         \frac{1}{1+\gamma(z)} \frac{g}{C_p T(z)} \eta_\lambda(z) \{ h_\lambda^c(z) - h^*(z) \} dz
\end{align}
%
とする.


ここで, 雲仕事関数の時間変化率を考えると, 下のように表せるだろう.
%
\begin{align}
  \DP{A_\lambda}{t} &= \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS} + \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}
\\
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c} &= \int_0^{\lambda_{\rm max}} K_{\lambda,\lambda'} m_B(\lambda') d\lambda'
\end{align}
%
ここで, 
$\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}$ は大規模場の運動による
雲仕事関数の時間変化率であり, 
$\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}$ は積雲対流による
雲仕事関数の時間変化率である.
また, $K_{\lambda,\lambda'}$ は, 
エントレインメント率が $\lambda'$ である積雲対流が及ぼす, 
エントレインメント率 $\lambda$ である
積雲対流による雲仕事関数の時間変化率の単位質量質量フラックスあたりの値である
\footnote{
  とてもややこしい. 
  言っていることは, 雲頂がある高さの積雲が, 異なる/同じ雲頂の高さの雲の
  立ちやすさに影響を及ぼすというようなこと. 
}.
%
ここで, 
%
\begin{align}
  \DP{A_\lambda}{t} &\sim 0, 
\\
  K_{\lambda,\lambda'} &= 0, \hspace{10mm} \lambda \ne \lambda'
\end{align}
%
と仮定すると, 
%
\begin{align}
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS} &= \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}
\\
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c} &= K_{\lambda,\lambda} m_B(\lambda) d\lambda
\\
  K_{\lambda,\lambda} &= \frac{1}{m_B(\lambda) d\lambda} \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}
\\
  m_B(\lambda) d\lambda &= \frac{1}{K_{\lambda,\lambda}} \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}
\end{align}
%
となり, $\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}$ を与えれば, 
$m_B(\lambda) d\lambda$ を求めることができる. 


\subsubsection{気圧座標系における方程式系}
\label{sec:math:p-axis}

\ref{sec:math:z-axis} 節の式を気圧座標系に書き換える. 

鉛直方向の静水圧平衡の式
%
\begin{align}
  \DP{z}{P} &= - \frac{C_p}{g} \theta
\\
  P &= \left( \frac{p}{p_r} \right)^\kappa
\\
  \kappa &= \frac{R}{C_p}
\\
  \theta &= \frac{T}{P}
\end{align}
%
を用いて, \ref{sec:math:z-axis} 節の式を変形すると下のように表される.
%
\begin{align}
  \left( \DP{s}{t} \right)_c 
    &= - g M_c \DP{s}{p} 
       - g L D(P) q_l(P) \left\{ 1 - r_l(P) \right\}
\\
  \left( \DP{h}{t} \right)_c 
    &= - g M_c \DP{h}{p} 
       + g D(P) q_l(P) \left\{ h^* - h \right\}
\\
  \left( \DP{q_l}{t} \right)_c 
    &=   g D(P) q_l(P) r_l(P)
\\
  M_c(P) &= \int_0^{\lambda_D(P)} \eta_\lambda(P) m_B(\lambda) d\lambda
\\
  D(P) &= \eta_{\lambda_D}(P) m_B(\lambda_D) \DD{\lambda_D(P)}{p}
\end{align}
%
\begin{align}
  \DP{\eta_\lambda(P)}{P} &= - \frac{C_p}{g} \theta \lambda
\\
  \DP{}{P} \left\{ \eta_\lambda(P) h_\lambda^c(P) \right\}
    &= \DP{\eta_\lambda(P)}{P} h(P)
\\
  \DP{}{P} \left[ \eta_\lambda(P) \left\{ q_{v,\lambda}^c(P) + q_{l,\lambda}^c(P) \right\} \right]
    &= \DP{\eta_\lambda(P)}{P} q_v(P)
\end{align}
%
これらの式を境界条件と共に用いて整理すると, 
規格化された質量フラックス, $\eta_\lambda$, 
およびエントレインメント率, $\lambda$, は
下のように表すことができる.
%
\begin{align}
  \eta_{\lambda}(P)
    &= 1 + \frac{C_p}{g} \lambda \int_{P}^{P_B} \theta dP
\\
  \lambda &= 
    \frac{h(P_B) - h^*(P_D)}
         {\frac{C_p}{g} \int_{P_D}^{P_B} \theta(P) \left\{ h^*(P_D) - h(P) \right\} dP}
\end{align}
%
また, 雲仕事関数は下のように書くことができる.
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &\sim \int_{P_B}^{P_D}
         \frac{1}{1+\gamma(P)} \frac{1}{P} \eta_\lambda(P) \{ h_\lambda^c(P) - h^*(P) \} dP
\end{align}