%\subsection{数理表現: 氷相を含む Relaxed Arakawa-Schubert 積雲パラメタリゼーション}
\subsection{数理表現}


\subsubsection{高度座標系における方程式系}
\label{sec:math:ras_with_ice:z-axis}

積雲対流による温度, 比湿, 雲水と雲氷の混合比の時間変化率は下のように評価する. 
%
\begin{align}
  \left( \DP{T}{t} \right)_c 
    &= \frac{1}{C_p} \left( \DP{s}{t} \right)_c 
\\
  \left( \DP{s}{t} \right)_c 
    &=   \frac{1}{\rho} M_c \DP{s}{z} 
       - \frac{1}{\rho} L   \chi'_l
       - \frac{1}{\rho} L_i \chi'_i
\\
  \left( \DP{q_v}{t} \right)_c 
    &=   \frac{1}{\rho} M_c \DP{q_v}{z} 
       + \frac{1}{\rho} \chi'_l
       + \frac{1}{\rho} D'(z) \left( q_v^c - q_v \right)
\\
  \left( \DP{q_l}{t} \right)_c 
    &=   \frac{1}{\rho} M_c \DP{q_l}{z} 
       - \frac{1}{\rho} \chi'_l
       + \frac{1}{\rho} \chi'_i
       + \frac{1}{\rho} D'(z) \left( q_l^c - q_l \right)
\\
  \left( \DP{q_i}{t} \right)_c 
    &=   \frac{1}{\rho} M_c \DP{q_i}{z} 
       - \frac{1}{\rho} \chi'_i
       + \frac{1}{\rho} D'(z) \left( q_i^c - q_i \right)
\\
  M_c(z) &= \int_0^{\lambda_D(z)} \eta_\lambda(z) m_B(\lambda) d\lambda
\\
  D'(z) &= - \eta_{\lambda_D}(z) m_B(\lambda_D) \DD{\lambda_D(z)}{z}
\\
  \chi'_l &= D'(z) q_l(z) \left( 1 - r_l(z) \right)
\\
  \chi'_i &= D'(z) q_i(z) \left( 1 - r_i(z) \right)
\end{align}
%
ここで, $\lambda$ はエントレインメントパラメータであり, 
$\lambda_D(z)$ は高度 $z$ が雲頂 (デトレインメント層) となる雲のエントレインメントパラメータである. 
$\eta_\lambda$, $m_B$ はそれぞれ規格化された質量フラックス, 
雲底における質量フラックスである. 
また, $r_l$, $r_i$ はデトレインメントされた雲水と雲氷のうちで蒸発, 融解せずに残る割合である
\footnote{あるいは, デトレインメントされた雲水と雲氷がすべて蒸発, 融解した後で凝結, 凝固する割合である}. 

また, 積雲内の質量フラックスと凝結物静的エネルギーフラックス
\footnote{
この値は, 英語では condensate static energy と呼ぶようだ.
}は下の方程式を満たすとする
\footnote{
  ここでは, 積雲内での降水を無視している.
}. 
%
\begin{align}
  \DP{\eta_\lambda(z)}{z} &= \lambda
\\
  \DP{}{z} \left[ \eta_\lambda(z) \left\{ q_{v,\lambda}^c(z) + q_{l,\lambda}^c(z) + q_{i,\lambda}^c \right\} \right]
    &= \DP{\eta_\lambda(z)}{z} \left\{ q_v(z) + q_l(z) + q_i(z) \right\}
  \label{eq:math:ras_with_ice:cloud_eq_qt}
\\
  \DP{}{z} \left[ \eta_\lambda(z) \left\{ h_\lambda^c(z) - L_i q_i^c(z) \right\} \right]
    &= \DP{\eta_\lambda(z)}{z} \left\{ h(z) - L_i q_i(z) \right\}
  \label{eq:math:ras_with_ice:cloud_eq_condstatene}
\end{align}
%
$\eta$ の境界条件として, 雲底, $z = z_B$, において
%
\begin{align}
  \eta_\lambda(z_B) &= 1
\end{align}
%
とする.
%
また, 水蒸気量や湿潤静的エネルギーの下部境界条件は下のように与える.
%
\begin{align}
  h_\lambda^c(z_B) &= h(z_B)
\\
  q_{v,\lambda}^c(z_B) &= q_v(z_B)
\\
  q_{l,\lambda}^c(z_B) &= q_l(z_B)
\\
  q_{i,\lambda}^c(z_B) &= q_i(z_B)
\end{align}
%
また, デトレインメント層では, 
%
\begin{align}
  h_{\lambda_D}^c(z_D) &= h^*(z_D) = s(z_D) + L q_{v,\lambda_D}^c(z_D) = C_p T(z_D) + g z_D + L q_{v,\lambda_D}^c(z_D)
\\
  q_{v,\lambda_D}^c(z_D) &= q_v^*(z_D)
\\
  q_{l,\lambda_D}^c(z_D) &= \alpha(T(z_D)) \left\{ q_{l,\lambda_D}^c(z_D) + q_{i,\lambda_D}^c(z_D) \right\}
\end{align}
%
と仮定する.
%\footnote{
%  $\lambda_D$ は $z_D$ における $\lambda$ の値 ($\lambda_D = \lambda(z_D)$) で
%  あるため, $X_{\lambda_D}(z_D)$ という記法は意味が重複している. 
%  ここではとりあえず放置.
%}.
% そんなことないな. たぶん.


%\subsubsection{雲内の温度, 混合比の分布}

また, これまでに示した式からは, 
%
\begin{align}
  q_{t,\lambda}^c(z) &= q_{v,\lambda}^c(z) + q_{l,\lambda}^c(z) + q_{i,\lambda}^c(z)
\\
  h_{\lambda}^c(z) - L_i q_{i,\lambda}^c(z) 
    &= s_{\lambda}^c(z) + L q_{v,\lambda}^c(z) - L_i q_{i,\lambda}^c(z) \nonumber
\\
    &= C_p T_{\lambda}^c(z) + g z + L q_{v,\lambda}^c(z) - L_i q_{i,\lambda}^c(z)
\end{align}
%
の鉛直分布を求めることはできるが, 
$T_{\lambda}^c(z)$, $q_{v,\lambda}^c(z)$, 
$q_{l,\lambda}^c(z)$, $q_{i,\lambda}^c(z)$, それぞれの鉛直分布を
求めることはできない. 
そこで, 下のように仮定してそれらの値を求めることにする. 
%
\begin{align}
  q_{v,\lambda}^c(z) &= q_{v}^*\left\{T_{\lambda}^c(z)\right\}
  \label{eq:math:ras_with_ice:cloud_prop_assumption1}
\\
  q_{l,\lambda}^c(z) &= \alpha\left(T_{\lambda}^c(z)\right) \left\{ q_{l,\lambda}^c(z) + q_{i,\lambda}^c(z) \right\}
  \label{eq:math:ras_with_ice:cloud_prop_assumption2}
%\\
%  q_{i,\lambda}^c(z) &= \left\{ 1 - \alpha\left(T_{\lambda}^c(z)\right) \right\} \left\{ q_{l,\lambda}^c(z) + q_{i,\lambda}^c(z) \right\}
\end{align}
%
%この仮定に基づいて得られる方程式は非線形連立方程式であるため解析的には解けない. 
%実際には繰り返し法により解を求める. 


$m_B(\lambda) d\lambda$ は, 雲仕事関数を用いて求める. 
%
雲仕事関数, $A_\lambda$, は下のように定義する.
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &= \int_{z_B}^{z_D}
         \frac{g}{C_p T(z)} \eta_\lambda(z) \{ s_\lambda^c(z) - s(z) \} dz
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
  s_\lambda^c(z) - s(z) &\sim \frac{1}{1+\gamma(z)} \{ h_\lambda^c(z) - h^*(z) \}
\end{align}
%
であることを用いて,
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &\sim \int_{z_B}^{z_D}
         \frac{1}{1+\gamma(z)} \frac{g}{C_p T(z)} \eta_\lambda(z) \{ h_\lambda^c(z) - h^*(z) \} dz
\end{align}
%
とする
\footnote{
  おそらく, 本来は $A$ を $h$ を使って書き直す必要はないと思われる. 
  ここでは, \ref{sec:math:z-axis} 節での議論をそのまま用いているだけであり, 
  $h$ を使って書き直す積極的な理由はない.
}. 


ここで, 雲仕事関数の時間変化率を考えると, 下のように表せるだろう.
%
\begin{align}
  \DP{A_\lambda}{t} &= \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS} + \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}
\\
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c} &= \int_0^{\lambda_{\rm max}} K_{\lambda,\lambda'} m_B(\lambda') d\lambda'
\end{align}
%
ここで, 
$\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}$ は大規模場の運動による
雲仕事関数の時間変化率であり, 
$\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}$ は積雲対流による
雲仕事関数の時間変化率である.
また, $K_{\lambda,\lambda'}$ は, 
エントレインメント率が $\lambda'$ である積雲対流が及ぼす, 
エントレインメント率 $\lambda$ である
積雲対流による雲仕事関数の時間変化率の単位質量質量フラックスあたりの値である
\footnote{
  とてもややこしい. 
  言っていることは, 雲頂がある高さの積雲が, 異なる/同じ雲頂の高さの雲の
  立ちやすさに影響を及ぼすというようなこと. 
}.
%
ここで, 
%
\begin{align}
  \DP{A_\lambda}{t} &\sim 0, 
\\
  K_{\lambda,\lambda'} &= 0, \hspace{10mm} \lambda \ne \lambda'
\end{align}
%
と仮定すると, 
%
\begin{align}
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS} &= \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}
\\
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c} &= K_{\lambda,\lambda} m_B(\lambda) d\lambda
\\
  K_{\lambda,\lambda} &= \frac{1}{m_B(\lambda) d\lambda} \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{c}
\\
  m_B(\lambda) d\lambda &= \frac{1}{K_{\lambda,\lambda}} \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}
\end{align}
%
となり, $\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}$ を与えれば, 
$m_B(\lambda) d\lambda$ を求めることができる. 

%実際にはこれでは閉じていないかも.


\subsubsection{気圧座標系における方程式系}
\label{sec:math:ras_with_ice:p-axis}

\ref{sec:math:ras_with_ice:z-axis} 節の式を気圧座標系に書き換える. 

鉛直方向の静水圧平衡の式
%
\begin{align}
  \DP{z}{P} &= - \frac{C_p}{g} \theta
\\
  P &= \left( \frac{p}{p_r} \right)^\kappa
\\
  \kappa &= \frac{R}{C_p}
\\
  \theta &= \frac{T}{P}
\end{align}
%
を用いて, \ref{sec:math:ras_with_ice:z-axis} 節の式を変形すると下のように表される.
%
\begin{align}
  \left( \DP{s}{t} \right)_c 
    &= - g M_c \DP{s}{p} 
       - g L   \chi_l
       - g L_i \chi_i
\\
  \left( \DP{q_v}{t} \right)_c 
    &= - g M_c \DP{q_v}{p} 
       + g D(P) \left\{ q_v^c(P) - q_v(P) \right\}
       + g \chi_l
\\
  \left( \DP{q_l}{t} \right)_c 
    &= - g M_c \DP{q_l}{p} 
       + g D(P) \left\{ q_l^c(P) - q_l(P) \right\}
       - g \chi_l
       + g \chi_i
\\
  \left( \DP{q_i}{t} \right)_c 
    &= - g M_c \DP{q_l}{p} 
       + g D(P) \left\{ q_i^c(P) - q_i(P) \right\}
       - g \chi_i
\\
  M_c(P) &= \int_0^{\lambda_D(P)} \eta_\lambda(P) m_B(\lambda) d\lambda
\\
  D(P) &= \eta_{\lambda_D}(P) m_B(\lambda_D) \DD{\lambda_D(P)}{p}
\\
  \chi_l &= D(P) q_l(P) \left( 1 - r_l(P) \right)
\\
  \chi_i &= D(P) q_i(P) \left( 1 - r_i(P) \right)
\end{align}
%
\begin{align}
  \DP{\eta_\lambda(z)}{P} &= - \frac{C_p}{g} \theta \lambda
\\
  \DP{}{P} \left[ \eta_\lambda(P) \left\{ q_{v,\lambda}^c(P) + q_{l,\lambda}^c(P) + q_{i,\lambda}^c(P) \right\} \right]
    &= \DP{\eta_\lambda(P)}{P} \left\{ q_v(P) + q_l(P) + q_i(P) \right\}
\\
  \DP{}{P} \left[ \eta_\lambda(P) \left\{ h_\lambda^c(P) - L_i q_i^c(P) \right\} \right]
    &= \DP{\eta_\lambda(P)}{P} \left\{ h(P) - L_i q_i(P) \right\}
\end{align}
%
これらの式を境界条件と共に用いて整理すると, 
規格化された質量フラックス, $\eta_\lambda$, 
およびエントレインメント率, $\lambda$, は
下のように表すことができる.
%
\begin{align}
  \eta_{\lambda}(P)
    &= 1 + \frac{C_p}{g} \lambda \int_{P}^{P_B} \theta dP
\\
  \lambda &= 
    \frac{ \left\{ h(P_B) - L_i q_i(P_B) \right\} - \left\{ h^c(P_D) - L_i q_i^c(P_D) \right\} }
         { \frac{C_p}{g} \int_{P_D}^{P_B} \theta(P) \left[ \left\{ h^c(P_D) - L_i q_i^c(P_D) \right\} - \left\{ h(P) - L_i q_i(P) \right\} \right] dP }
\end{align}
%
また, 雲仕事関数は下のように書くことができる.
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &= \int_{P_B}^{P_D}
         \frac{1}{P} \eta_\lambda(P) \{ s_\lambda^c(P) - s(P) \} dP
\end{align}
%
あるいは, 
%
\begin{align}
  A_\lambda
    &\sim \int_{P_B}^{P_D}
         \frac{1}{1+\gamma(P)} \frac{1}{P} \eta_\lambda(P) \{ h_\lambda^c(P) - h^*(P) \} dP
\end{align}