\subsection{離散表現}

Relaxed Arakawa-Schubert 積雲パラメタリゼーションの離散化は, 
主に Moorthi and Suarez (1992) の一部を修正したものを用いる. 

\ref{sec:math:p-axis} 節の方程式を下のように離散化する.
%
\begin{align}
  \left( \DP{s_k}{t} \right)_{c} 
    &= \sum_{k'} \left( \DP{s_k}{t} \right)_{c,k'}
     = \sum_{k'} M_{B,k'} \Gamma_{s,k',k}
     = \sum_{k'} m_{B,k'} \Delta \lambda_{k'} \Gamma_{s,k',k}
\\
  \left( \DP{h_k}{t} \right)_{c}
    &= \sum_{k'} \left( \DP{h_k}{t} \right)_{c,k'}
     = \sum_{k'} M_{B,k'} \Gamma_{h,k',k}
     = \sum_{k'} m_{B,k'} \Delta \lambda_{k'} \Gamma_{h,k',k}
\end{align}
%
ここで, $k'$ は雲頂のインデックスである.
%
また, 
%
\begin{align}
  \Gamma_{s,k',k} & = 
    \begin{cases}
      \displaystyle
        - \frac{g}{\Delta p_k}
              \eta_{k',k+\frac{1}{2}} \left( s_k - s_{k+1} \right)
        \\ \hspace{5mm}
      \displaystyle
        - \frac{g}{\Delta p_k}
          L q_{l,k',k'} \eta_{k',k'} \left( 1 - r_{l,k'} \right) \delta_{k',k}
    &
      ( k \le k' ) 
    \\
      0
    &
      ( k > k' ) 
    \end{cases}
\\
  \Gamma_{h,k',k} &=
    \begin{cases}
      \displaystyle
      - \frac{g}{\Delta p_k}
              \eta_{k',k+\frac{1}{2}} \left( h_k - h_{k+1} \right)
        \\ \hspace{5mm}
      \displaystyle
        + \frac{g}{\Delta p_k}
          \left( h_k'^* - h_k' \right) \delta_{k',k}
    &
      ( k \le k' ) 
    \\
      0
    &
      ( k > k' ) 
    \end{cases}
\end{align}
%
である
\footnote{
  Moorthi and Suarez (1992) では, この部分の離散化に中心差分を用いているが, 
  ここでは風上差分を用いている. これにより, 物理量が負になることを避ける
  ことができる. 
}.

\begin{align}
  \eta_{k',k-\frac{1}{2}} - \eta_{k',k+\frac{1}{2}}
    &= - \beta_{k} \theta_k \lambda_{k'}
\\
  \eta_{k',k'-\frac{1}{2}} - \eta_{k',k'}
    &= - \beta_{k'}' \theta_{k'} \lambda_{k'}
\\
  \beta_k &= \frac{C_p}{g} \left( P_{k-\frac{1}{2}} - P_{k+\frac{1}{2}} \right)
\\
  \beta_k' &= \frac{C_p}{g} \left( P_{k-\frac{1}{2}} - P_{k} \right)
\end{align}
\begin{align}
    \eta_{k',k-\frac{1}{2}} h_{k',k-\frac{1}{2}}^c
  - \eta_{k',k+\frac{1}{2}} h_{k',k+\frac{1}{2}}^c
    &=   \left( \eta_{k',k-\frac{1}{2}} - \eta_{k',k+\frac{1}{2}} \right)
         h_{k}
\\
    \eta_{k',k'-\frac{1}{2}} h_{k',k'-\frac{1}{2}}^c
  - \eta_{k',k'} h_{k',k'}^c
    &=   \left( \eta_{k',k'-\frac{1}{2}} - \eta_{k',k'} \right)
         h_{k'}
\end{align}
\begin{align}
    \eta_{k',k-\frac{1}{2}} \left( q_{v,k',k-\frac{1}{2}}^c + q_{l,k',k-\frac{1}{2}}^c \right)
  - \eta_{k',k+\frac{1}{2}} \left( q_{v,k',k+\frac{1}{2}}^c + q_{l,k',k+\frac{1}{2}}^c \right)
    &=   \left( \eta_{k',k-\frac{1}{2}} - \eta_{k',k+\frac{1}{2}} \right)
         q_{v,k}
\\
    \eta_{k',k'-\frac{1}{2}} \left( q_{v,k',k'-\frac{1}{2}}^c + q_{l,k',k'-\frac{1}{2}}^c \right)
  - \eta_{k',k'} \left( q_{v,k',k'}^c + q_{l,k',k'}^c \right)
    &=   \left( \eta_{k',k'-\frac{1}{2}} - \eta_{k',k'} \right)
         q_{v,k'}
\end{align}

$k'$ 層目に雲頂を持つ雲のエントレインメントパラメータ $\lambda_k$ は下のように
離散化する.
%
\begin{align}
  \lambda_{k'}
    &= \left( h_{k_{mlt}} - h_{k'} \right) 
       \left\{ \beta_k' \theta_{k'} \left( h_{k'}^* - h_{k'} \right)
               + \sum_{l=k_{mlt}+1}^{k'-1} \beta_l \theta_l \left( h_{k'}^* - h_l \right)
       \right\}^{-1}
\end{align}
%
ここで, $k_{mlt}$ は混合層最上層のインデックスである. 

$k'$ 層目に雲頂を持つ雲の雲仕事関数 $A_{k'}$ は下のように離散化する.
%
\begin{align}
  A_{k'}
    &=   \sum_{l=l_{\rm mlt}+1}^{k'-1}
           \left\{
               \mu_l \eta_{k',l+\frac{1}{2}}
                 \left( h_{k',l+\frac{1}{2}}^c - h_l^* \right)
             + \epsilon_l \eta_{k',l-\frac{1}{2}}
                 \left( h_{k',l-\frac{1}{2}}^c - h_l^* \right)
           \right\}
       + \epsilon_{k'} \eta_{k',k'-\frac{1}{2}}
           \left( h_{k',k'-\frac{1}{2}}^c - h_{k'}^* \right)
\\
  \mu_l &= \frac{1}{1+\gamma_l}\frac{1}{P_l} \left( P_l - P_{l+\frac{1}{2}} \right)
\\
  \epsilon_l &= \frac{1}{1+\gamma_l}\frac{1}{P_l} \left( P_{l-\frac{1}{2}} - P_l \right)
\end{align}

積雲の効果による雲仕事関数の時間変化率は, 離散系において下のように表される. 
%
\begin{align}
  \left(\DD{A_{k'}}{t}\right)_c
    &=   M_{B,k'}
           \sum_{l=l_{rm mlt}+1}^{k'-1}
             \left[
                 \left( \mu_l + \epsilon_l \right)
                   \left\{
                       \Gamma_{h,k',l_{\rm mlt}}
                     - \sum_{l=l_{\rm mlt}-1}^{k'-1}
                         \left( \mu_{k',l-\frac{1}{2}} - \mu_{k',l+\frac{1}{2}} \right) \Gamma_{h,k',l}
                   \right\}
             \right.
\nonumber \\
     & \hspace{40mm}
               - \left( \mu_l \eta_{k',l+\frac{1}{2}} + \epsilon_l \eta_{k',l-\frac{1}{2}} \right)
                   \left( 1 + \gamma_l \right) \Gamma_{s,k',l}
\nonumber \\
     & \hspace{40mm}
               - \mu_l \left( \eta_{k',l-\frac{1}{2}} - \eta_{k',l+\frac{1}{2}} \right) \Gamma_{h,k',l}
             \Biggr]
\nonumber \\
     & + M_{B,k'}
           \left[
             \epsilon_{k'}
               \left\{
                   \Gamma_{h,k',l_{\rm mlt}}
                 - \sum_{l=l_{\rm mlt}}^{k'-1}
                     \left( \eta_{k',l-\frac{1}{2}} - \eta_{k',l+\frac{1}{2}} \right) \Gamma_{h,k',l}
                 - \left( 1 + \gamma_{k'} \right) \eta_{k',k'-\frac{1}{2}} \Gamma_{s,k',k'}
               \right\}
           \right]
\end{align}

なお, Relaxed Arakawa-Schubert パラメタリゼーションでは, 
$\displaystyle \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS}$ は下のように与える.
%
\begin{align}
  \left(\DP{A_\lambda}{t}\right)_{LS} 
    &\sim \frac{1}{\tau_{RAS}} \left\{ A_{k'} - A_{eq} \right\}
\end{align}
%
ここで, $\tau_{RAS}$ は緩和時定数, 
$A_{eq}$ は雲仕事関数の「平衡値」である. 
また, $A_{k'}$ は格子スケール循環, 放射, 乱流混合などによる
寄与を経た後の雲仕事関数である.