% 表題   DCPAM5  積雲パラメタリゼーション  湿潤対流調節
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% 履歴 
%\Drireki{2016/03/11 高橋芳幸}
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\subsection{数理表現}
\Dseclab{cumulus:mca:math}

湿潤対流調節は下のように定式化される. 
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\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial z} \left\{ C_p T + L q^*(T) + g z \right\} &> C_p \Delta T_c,
\\
  \frac{ q }{ q^*(T, p) } &\ge r_c,
\end{align}
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ここで, $C_p \Delta T_c$ は不安定が起こる湿潤静的エネルギー差の閾値であり, 
$r_c$ は凝結が生じる相対湿度の閾値である. 

調節時に満たす条件は, 
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\begin{align}
  \DP{}{t} \int \rho \left( C_p T + L q \right) dz &= 0, 
  \\
  \frac{\partial}{\partial z} \left( C_p T + L q + g z \right) &= 0
\end{align}
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である.

また, 対流終了後の時刻 $t=t_e$ において,
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\begin{align}
  q(t_e) &= q^*(T(t_e), p)
\end{align}
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となっていなければならない.
ここで, $q^*$ は飽和比湿である. 

%ここで, (\ref{eq:mca:neutralstrat}) を静水圧平衡の式を用いて整理すると, 
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%\begin{eqnarray}
%  \frac{\partial p}{\partial z} &= - \rho g
%\end{eqnarray}