% 表題   DCPAM5  積雲パラメタリゼーション  Kuo スキーム
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% 履歴
%\Drireki{1993/03/18 沼口敦・保坂征宏}


\section{Kuoスキーム}

Kuoスキームにおいては,
雲底$k_B$と雲頂$k_T$の間で,
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\begin{equation}
T_k = \hat{T}_k 
    +  \frac{L}{C_p} (1-b) I 
                   \frac{( T^c_k - T_k )}
                        {\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} 
                         ( T^c_k - T_k ) \frac{\Delta p_k}{g}  } 
\end{equation}
%
\begin{equation}
q_k = \bar{q}_k^{t-\Delta t} 
    +  b I         \frac{( q^c_k - q_k )}
                        {\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} 
                         ( q^c_k - q_k ) \frac{\Delta p_k}{g}  } 
\end{equation}
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ここで, $I$ は, $t-\Delta t$ から $t+\Delta t$ の間の
雲底雲頂間の水蒸気収束量であり,
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\begin{equation}
I = \sum_{k=k_B}^{k_T} 
     ( \hat{q}_k - \bar{q}_k^{t-\Delta t} ) \frac{\Delta p_k}{g}  .
\end{equation}
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$T^c_k, q^c_k$ は雲内の温度, 比湿であり後述する.

b は水蒸気収束を凝結加熱と加湿に分配するパラメータであり,
Anthes(1977)に従って,
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\begin{equation}
 b = \left\{
          \begin{array}{ll}
           \left( \frac{1-\langle \mbox{RH}\rangle}
                       {1-\mbox{RH}_c} \right)^n 
            & \langle \mbox{RH}\rangle \ge \mbox{RH}_c \\
            1 
            & \langle \mbox{RH}\rangle < \mbox{RH}_c \\
          \end{array}
     \right.
\end{equation}
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と評価する. 
$\mbox{RH} \equiv \hat{q}/q^*(\hat{T},p)$ は相対湿度であり,
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\begin{equation}
\langle \mbox{RH}\rangle 
  = \frac{\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} \hat{q} 
                                           \frac{\Delta p_k}{g}  } 
         {\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} q^*(\hat{T},p) 
                                           \frac{\Delta p_k}{g}  }  .
\end{equation}

雲底$k_B$は, 
地表の気塊を断熱的に持ち上げたときに凝結しはじめる高度
(LCL;持ち上げ凝結高度)より上で
成層が湿潤不安定であるもっとも下のレベルであるとする.
レベル $k$ で$(T^a_k, q^a_k)$である気塊の 
$k+1$ への断熱的な気塊の持ち上げによる
$(T^a_{k+1}, q^a_{k+1})$への変化は,
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\begin{equation}
T^a_{k+1} = T^a_k \left( \frac{p_{k+1}}{p_k} \right)^{\kappa}
\end{equation}
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\begin{equation}
q^a_{k+1} = q^a_k
\end{equation}
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となる.
このとき,
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\begin{equation}
q^a_{k+1} > q^*( T^a_{k+1}, p_{k+1} )
\end{equation}
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であれば, 過飽和凝結が起こり,
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\begin{equation}
T^a_{k+1} \leftarrow
        T^a_{k+1}
        + \frac{L}{C_p} \frac{ q^a_{k+1} - q^*( T^a_{k+1},p_{k+1}) }
                             {\displaystyle 
                                   1 + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} }
\end{equation}
%
\begin{equation}
q^a_{k+1} \leftarrow
        q^a_{k+1}
       - \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T}
                        \frac{ q^a_{k+1} - q^*( T^a_{k+1},p_{k+1}) }
                             {\displaystyle 
                                   1 + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} } ,
\end{equation}
%
となる.

まず, $ T^a_1=\hat{T}_1, q^a_1=\hat{q}_1 $ から出発して
逐次このような持ち上げ操作を行ない,
はじめて凝結が起きたレベルを LCL とする.
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成層が湿潤不安定であるかどうかは,
$ T^a_k = \hat{T}_k, q^a_k = q^*( \hat{T}_k, p_k ) $ 
から出発して, $ T^a_{k+1}, q^a_{k+1} $を求めたとき,
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\begin{equation}
T^a_{k+1} > \hat{T}_{k+1}
\end{equation}
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となるかどうかによって判断する.

雲内の温度, 比湿 $T^c_k, q^c_k$ は
雲底$k_B$ で 
$ T^a_{k_B} = \hat{T}_{k_B}, 
  q^a_{k_B} = q^*( \hat{T}_{k_B}, p_{k_B} ) $ 
から出発して断熱的に持ち上げた
気塊の温度, 比湿 
$T^c_k = T^a_k, q^c_k = q^a_k$ とする.
$ q^c_k = q^*( T^c_k, p_k ) $ である.
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雲頂$k_T$は,  雲底よりも上で
このようにきめた雲内の温度が周辺よりも低くなる, すなわち,
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\begin{equation}
T^c_k < \hat{T}_k
\end{equation}
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となるような一番下のレベルである.

降水量$P$は,
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\begin{equation}
P = (1-b) I .
\end{equation}

である. 

\section{浅い積雲}

\section{荒川シューバートスキーム}