% 表題   DCPAM5 雲モデル
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% 履歴
%\Drireki{2012/02/02 高橋芳幸}
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%  \Dchapterhead
\section{離散表現}
\Dseclab{cloud:cloud-disc}


\Dmodel の雲モデルでは, 乱流拡散は力学過程と一緒に先に積分され, 
その結果を用いて, 生成と消滅を考慮して調節する. 
力学過程に関する積分は水蒸気など他の成分と同じように扱う.
ここでは, 生成, 消滅の部分についてのみ示す. 
生成, 消滅部分は, Tiedtke (1993) に倣って下のように
解析的に積分する. 
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\begin{eqnarray}
%  \frac{ q_{cw}^* - q_{cw}^{t-\Delta t} }{ 2 \Delta t } &=& \DP[][VD}{q_{cw}}{t}
%  q_{cw}^* &=& q_{cw}^{t-\Delta t} + \DP[][VD]{q_{cw}}{t} ( 2 \Delta t )
%\\
  q_{cw}^{t+\Delta t} 
    &=&    q_{cw}^* e^{-\frac{ 2 \Delta t }{\tau_{cw}}}
         + \tau_{cw} P_{cw} ( 1 - e^{-\frac{ 2 \Delta t }{\tau_{cw}}} )
\end{eqnarray}
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ここで, $q_{cw}^*$ は, 乱流拡散項を含めた力学過程の積分後に得られる
雲水混合比の値である. 

降水率, $P$, は, 下のように求められる. 
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\begin{eqnarray}
  P &=& \frac{1}{2 \Delta t} \sum_{k=1}^N \left\{ q_{cw,k}^{t-\Delta t} + P_{cw,k} ( 2 \Delta t ) - q_{cw,k}^{t+\Delta t} \right\} \frac{\Delta p_k}{g}
\end{eqnarray}
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これを, 下のように最下層の温度で降雨率, $P_{rain}$, と降雪率, $P_{snow}$, に
分ける.
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\begin{eqnarray}
  P_{rain} &=& \left\{ \begin{array}{ll}
                 P & (T_1 \ge T_f) \\
                 0 & (T_1 < T_f)   \\
               \end{array} \right.
\\
  P_{snow} &=& \left\{ \begin{array}{ll}
                 0 & (T_1 \ge T_f) \\
                 P & (T_1 < T_f)   \\
               \end{array} \right.
\end{eqnarray}