% 表題   DCPAM5  物理過程で用いる予備変数
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% 履歴
%\Drireki{2010/09/29 高橋芳幸}
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%  \Dchapterhead
\chapter{物理過程で用いる予備変数}

\section{はじめに}

物理過程の演算においては, しばしば鉛直層の境界における温度や, 鉛直層の
境界や中心の高度が必要となる. 
ここでは, それらの計算方法を示す. 

\section{離散表現}


\subsection{鉛直層境界における温度}

%\textcolor{red}
%{
注: この節の内容のコードとの対応は確認していない.
というより, コードの内容がわかりにくい.
%}


層の境界における温度は, 下のように計算することにする. 
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$1 \le k \le k_{max}-1$ のとき, 
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\begin{eqnarray}
  T_{k+\frac{1}{2}} &=& \alpha_{k+\frac{1}{2}} T_{k} + \beta_{k+\frac{1}{2}} T_{k+1}
\\
  \alpha_{k+\frac{1}{2}} 
    &=& \frac{ \log \sigma_{k+\frac{1}{2}} - \log \sigma_{k+1}           }
             { \log \sigma_{k}             - \log \sigma_{k+1}           }
\\
  \beta_{k+\frac{1}{2}}
    &=& \frac{ \log \sigma_{k}             - \log \sigma_{k+\frac{1}{2}} }
             { \log \sigma_{k}             - \log \sigma_{k+1}           }
\end{eqnarray}
%
とし, $k = 0$ のとき, 
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\begin{eqnarray}
  T_{\frac{1}{2}} &=& T_{1}
\\
  T_{k_{max}+\frac{1}{2}} &=& T_{k_{max}}
\end{eqnarray}
%
とする. 
$1 \le k \le k_{max}-1$ の場合の表現は, 気圧に対する対数的な線型内挿である. 


\subsection{鉛直層中心と境界における高度}


層の中心における高度は, 下のように計算することにする. 
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\begin{eqnarray}
  z_{1} &=& z_s + \frac{R}{g} T_{1} \left( 1 - \sigma_{1} \right)
\\
  z_{k} &=& z_{k-1} + \frac{R}{g} T_{k-\frac{1}{2}} \frac{\sigma_{k-1} - \sigma_{k}}{\sigma_{k-\frac{1}{2}}}
\end{eqnarray}
%
一方, 層の境界における高度は, 下のように計算することにする. 
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\begin{eqnarray}
  z_{\frac{1}{2}} &=& z_s
\\
  z_{k+\frac{1}{2}} &=& z_{k-\frac{1}{2}} + \frac{R}{g} T_{k} \frac{\sigma_{k-\frac{1}{2}} - \sigma_{k+\frac{1}{2}}}{\sigma_{k}}
\end{eqnarray}