% 表題   dcpam ドキュメント 数理モデル
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% 履歴 
\Drireki{2006/10/25 石渡正樹}
\Dchapterhead
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\section{基本的な考え方}

大気の質量は, 
    水蒸気の蒸発と凝結(降水過程)によって変化する.
現在の地球大気の場合には通常この効果は無視することが
    できるけれども, 
大気中の水蒸気量が増大した場合には
蒸発と凝結による大気質量変化を考慮する必要がある.

蒸発と凝結による大気質量変化をまじめに考慮する場合には, 
   各高度レベルにおいて質量変化を計算することになる.
しかし, そのような取り扱いは $\sigma$ 座標系においては
非常に繁雑になる. 
dcpam の蒸発・凝結による大気質量変化を計算するモジュールにおいては, 
    水蒸気の凝結・蒸発による大気質量の変化については, 
    それぞれの鉛直コラムにおけるトータルの質量変化, 
    すなわち蒸発量と凝結量の差の鉛直積分
    だけを考慮し,
    各時間ステップの最後で表面気圧 $p_s$ と比湿 $q$ を
    補正するということをおこなっている.

\section{表面気圧変化の計算}

各時間ステップにおける表面気圧 $p_s$ の補正量を $\Delta p_s$,
凝結と蒸発による比湿変化を $\Delta q$ とおくと
\begin{eqnarray}
 \Delta p_s = g \int \hat{\rho} \Delta q d \hat{z}
            = -g \int \hat{\rho} \Delta q \frac{d \hat{p}}{- \hat{\rho} g}
            = \int \Delta q d \hat{p}
            = \hat{p_s} \int \Delta q d \sigma
\end{eqnarray}
ただし, 
$\hat{p_s}$ は補正前の表面気圧, 
$\hat{\rho}$ は補正前の大気密度である.
$\Delta q$ は蒸発による比湿の増加項と凝結による比湿の減少の項から
成る. 順番に考える.
\begin{enumerate}
\item 地表面からの蒸発による水蒸気量増加

地表面における蒸発フラックスを $F_{evap} \sim L C (q^{*} - q_s) \rho_s$,
$\Delta t$ をタイムステップとすると, 
蒸発による最下層の比湿変化 $\Delta q_{evap}$は
\begin{eqnarray}
  \frac{\Delta q_{evap}}{\Delta t} 
= \frac{ F_{evap} L^{-1} \rho_s^{-1}}{\Delta z}
= \frac{ F_{evap} L^{-1} \rho_s^{-1}}{\Delta p / (\rho_s g)}
= F_{evap} \frac{g}{L \Delta p}
\end{eqnarray}
となる. 
これより
\begin{eqnarray}
  \Delta q_{evap} 
= F_{evap} \frac{g}{L \Delta p} \Delta t 
\end{eqnarray}

\item 凝結による水蒸気減少
\begin{eqnarray}
  \Delta q_{cond} 
= S^{cond}_{q} \Delta t 
\end{eqnarray}
ただし,  $S^{cond}_{q}$ は凝結による比湿の変化率を表す.
\end{enumerate}

よって, 
\begin{equation}
\Delta p_s = F_{evap} \frac{g}{L} \Delta t +
   \hat{p_s} \int S^{cond}_{q} \Delta t d \sigma
\end{equation}
となる.

\section{比湿の補正}

上のように, 表面気圧 $p_s$ を補正したならば
    各鉛直レベルにおける比湿の値も補正しなければ
    ならない.
補正の前後で水蒸気の質量(絶対湿度)が変わっている
    わけではないからである.
したがって, 水蒸気の質量が補正の前後で等しくなるように
    比湿 $q$ を補正する.
補正の前後で水蒸気の質量が等しくなるという条件は
    以下の式で表される.
\begin{equation}
    \hat{\rho} \hat{q} = \rho q, 
\end{equation}
ただし, $\hat{\rho}$, $\hat{q}$ は補正前の大気密度・比湿の値を, 
    $\rho$, $q$ は補正後の密度・比湿の値を表す.
この式を変形する.

\begin{equation}
   \frac{\hat{p_{s}} \sigma}{RT} \hat{q} = \frac{p_{s} \sigma}{RT} q
\end{equation}
$p_s = \hat{p_s} + \Delta p_s$ を代入すると
\begin{eqnarray}
    \frac{\hat{p_{s}} \sigma}{RT} \hat{q} 
&=& \frac{(\hat{p_s} + \Delta p_s) \sigma}{RT} q,  \nonumber \\
%
    \hat{p_{s}} \hat{q} 
&=& (\hat{p_s} + \Delta p_s) q,  \nonumber \\
\end{eqnarray}
よって, 最終的に
\begin{equation}
    q = \frac{\hat{p_s}}{\hat{p_s} + \Delta p_s} \hat{q} 
\end{equation}
となる.