この章では力学過程の支配方程式を記し, その支配方程式の離散化を 行う.
ここで述べる力学過程とは, 流体の支配方程式における外力項を除いた部分を指す. 外力項である放射や鉛直乱流拡散や雲などに関する過程については 別紙を参照のこと.
離散化については, 空間に関する離散化である鉛直離散化と, 水平離散化の方法ならびに時間に関する離散化を行う.
ここでは力学過程の支配方程式系を示す. この方程式系の詳細に関しては, Haltiner and Williams (1980) もしくは 別紙『 支配方程式系の導出に関する参考資料』 の『力学過程の支配方程式系の導出』を参照せよ.
ここで, 独立変数は以下の通りである.
| (3.7) | ||
| (3.8) | ||
| (3.9) | ||
| (3.10) |
モデルで時間発展を計算することとなる予報変数は以下の通りである.
| (3.16) | ||
| (3.17) | ||
| (3.18) | ||
| (3.19) |
| (3.24) | ||
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(3.25) | |
| (3.26) | ||
| (3.27) | ||
| (3.28) | ||
| (3.29) | ||
![]() |
(3.30) | |
![]() |
(3.31) | |
![]() |
(3.32) | |
![]() |
(3.33) | |
| KE |
![]() |
(3.34) |
| (3.35) | ||
| (3.36) | ||
| (3.37) | ||
| (3.38) | ||
| (3.39) | ||
| (3.40) | ||
| (3.41) | ||
| (3.42) | ||
| (3.43) |
| (3.44) | ||
| (3.45) | ||
| (3.46) | ||
| (3.47) | ||
| (3.48) | ||
| (3.49) |
鉛直流に関する境界条件は
| (3.50) |
水平拡散とスポンジ層における渦度と発散の散逸は次のように表現する.
| (3.53) | ||
| (3.54) | ||
| (3.55) | ||
| (3.56) |
水平拡散項は, 次のように
の形で計算する.
![]() |
(3.58) |
| (3.59) |
| (3.60) |
スポンジ層における運動量の散逸項は, 東西平均成分を減衰させる場合とさせない場合の 2 通りの 計算法を導入する. 東西平均成分も減衰させる場合には,
| (3.61) | ||
| (3.62) |
| (3.63) | ||
| (3.64) |
スポンジ層内の温度擾乱の減衰には以下の項を導入する.
| (3.65) |
減衰係数
,
の
依存性に一般形はないが, dcpam では
下のような
依存性を考慮する.
![]() |
(3.66) |
![]() |
(3.67) |
ここでは支配方程式を鉛直方向に離散化する. Arakawa and Suarez(1983) に従って, (3.1)〜(3.6) を鉛直方向に差分によって離散化する. 各方程式の離散化表現は次のようになる.
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(3.68) | |
![]() |
(3.69) | |
| (3.70) |
![]() |
(3.71) |
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(3.72) |
![]() |
(3.73) |
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(3.79) |
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(3.80) |
![]() |
(3.81) | |
| (3.82) | ||
![]() |
(3.83) |
![]() |
(3.84) |
![]() |
(3.85) |
![]() |
(3.86) |
ここでは支配方程式を水平離散化する.
水平方向の離散化はスペクトル変換法を用いる (Bourke, 1988).
非線形項は格子点上で計算する.
各方程式のスペクトル表現は以下のようになる.
スペクトル表現に関する記号の意味については
2.5節を参照されたい.
その詳細については第A章
を参照せよ.
なお, 簡単化のため, 部分的に鉛直方向添字
を省略する.
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(3.91) |
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(3.92) |
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(3.95) | |
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(3.96) |
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(3.97) |
![]() |
(3.98) |
![]() |
(3.99) | |
![]() |
(3.100) | |
![]() |
(3.101) |
![]() |
(3.102) |
![]() |
(3.103) |
ここでは時間積分スキームについて記す.
時間差分には, 複数の方法を組み合わせて用いる. 用いる方法の 概要を以下に示す.
この方法は, 予報変数を
と表すと, 以下の 3 式で表現される.
![]() |
(3.105) |
| (3.106) |
まず, semi-implicit 法を用いるために, 方程式系を
である
静止場に基づいて線形重力波項とそれ以外の項に分離する.
鉛直方向のベクトル表現
,
および行列表現
を用いると, 連続の式, 発散方程式,
熱力学の式は,
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(3.107) |
![]() |
(3.108) |
![]() |
(3.109) |
や
といった表記については
2.5節の
(2.10),
(2.15), (2.17)
を参照のこと.
ここで,
添字 NG の付いた項は, 非重力波項であり,
以下のように表される.
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(3.113) | |
![]() |
(3.114) |
![]() |
(3.115) |
![]() |
(3.116) |
![]() |
(3.117) |
なお, 渦度方程式には線型重力波項がないため, ここでは示さない. 3.2
これらの方程式に,
![]() |
(3.130) | |
![]() |
(3.131) |
(3.127), (3.128), (3.129)
より,
について整理すると,
となる. ここで
は単位行列,
は
の
転置ベクトルである.
(3.132)
を
について解き,
![]() |
(3.133) |
である.