% 題名 土星現象論: 土星に関する基本的数字 % % 履歴 90/07/25 竹広真一 % 92/08/25 林祥介 % 96/05/24 林祥介 地球流体電脳倶楽部資源「土星現象論」へ % 96/07/22 豊田英司 \documentstyle[a4j,12pt,ascmac,twoside,dennou,Depspic]{jarticle} \Dtitle{土星現象論: 土星に関する基本的数字} \Dauthor{地球流体電脳倶楽部} \Ddate[96/07/22]{1996 年 7 月 22 日} \Dpath{/riron/genshou/saturn/suuji/} \begin{document} %\pagenumbering{roman} \maketitle \tableofcontents %\clearpage %\pagenumbering{arabic} \begin{abstract} 土星とその大気にまつわる天文学的数字のリストを掲げる. \end{abstract} \newpage \section{天文学に関する数字} \underline{\large{惑星本体・衛星}} \vspace{5mm} \begin{tabular} {|l|c|c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 土星} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 地球の値との比} & \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline \hline 質量(10$^{24}$ kg) &$5.684\times 10^2$ & 95.16 & 5.973 \\ \hline 赤道半径 $R_e$ (km) &$6.0000\times 10^4$& 9.407 & 6378 \\ \hline 極半径 $R_p$(km) &$5.415\times 10^4$ & 8.517 & 6357 \\ \hline 扁平率$(R_e-R_p)/R_p$ & 0.108 & 31 & 0.0034 \\ \hline 密度(g cm$^{-3}$ ) & 0.70 & 0.13 & 5.52 \\ \hline 赤道重力加速度(表面)(ms$^{-2}$) & 9.29 & 0.95 & 9.78 \\ \hline 衛星の数 & 17個以上 & 17以上 & 1 \\ \hline \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1990 より)} \end{tabular} \vspace{5mm} \newpage \underline{\large{軌道要素\footnotemark[1]・自転軸}} \vspace{5mm} \begin{tabular} {|l|c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 土星} & \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline \hline 昇交点黄経 $\Omega(^{\circ}$) & 113.689 & 354.865 \\ \hline 軌道傾斜角 i($^{\circ}$) & 2.489 & 0.001 \\ \hline 軌道長半径 a(10$^8$ km) & 14.294 & 1.496 \\ \hline 離心率 e & 0.0555 & 0.0167 \\ \hline 近日点黄経 $\varpi(^{\circ}$) & 93.003 & 102.904 \\ \hline 元期平均近点離角 $M_{o}(^{\circ}$) & 200.919 & 76.273 \\ \hline 赤道傾斜角($^{\circ}$)\footnotemark[2] & 26.7 & 23.44 \\ \hline \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1990)} \end{tabular} \footnotetext[1] {元期:1990年7月1.0日.座標系:2000年1月1.5日の黄道座標系. くわしくは金星現象論 `金星に関する基本的数字' Appendixを 参照せよ.} \footnotetext[2] {各惑星の黄道座標系による黄経,黄緯で表す.} %\newpage % % \underline{\large{土星の軌道}} % % \vspace{21cm} % \hspace*{5cm} % 図 1. 土星と地球の軌道 \vspace{5mm} \underline{\large{時間}} \vspace{5mm} \begin{tabular} {|l|c|c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 土星} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 地球の値との比} & \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline 公転周期 & 10759.22日 (29.457年) & 29.457 & 365.256日 \\ \hline 自転周期\footnotemark[3] & 10h39m24s (0.444日) & 0.445 & 0.9973日 \\ \hline 自転角速度($\mbox{rad}\cdot\mbox{sec}^{-1}$) & $1.638 \times 10^{-4}$ & 2.246 & $7.292 \times 10^{-5}$ \\ \hline \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1990, Moore and Hunt 1983 より)} \end{tabular} \footnotetext[3] {土星の自転の定め方については別シリーズ `土星に関する用語' を参照せよ.} \vspace{5mm} \underline{\large{太陽定数,アルベド}} \vspace{5mm} \begin{tabular} {|l|c|c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 土星} & \multicolumn{1}{|c}{\gt 地球の値との比} & \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline 太陽定数(W m $^{-2}$ ) & 15.1 & 0.011 & 1370 \\ \hline Albedo(Bond)\footnotemark[4] & 0.77 & 2.6 & 0.30 \\ \hline \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1990 より)} \end{tabular} \footnotetext[4] {土星のアルベドは, 他の教科書によると 0.33 程度である (Moore and Hunt 1983). 理科年表がどのように計算しているのかわからない.} \newpage \section{大気科学に関する数字} \underline{\large{組成}} \vspace{5mm} \begin{tabular}{||c|c|} \hline 構成要素 & 体積百分率(\%) \cr \hline $\mbox{H}_2 $ & $\sim 94$ \cr He & $\sim 6$ \cr $\mbox{NH}_3$ & $2 \times 10^{-4}$ \cr $\mbox{PH}_3$ & $1\times 10^{-6}$ \cr $\mbox{CH}_4$ & $8 \times 10^{-4}$ \cr $\mbox{C}_2\mbox{H}_6$ & $5\times 10^{-6}$ \cr $\mbox{C}_2\mbox{H}_2$ & $2\times 10^{-8}$ \cr $\mbox{CH}_3\mbox{CH}$ & $10^{-10}$ \cr $\mbox{C}_3\mbox{H}_8$ & $10^{-10}$ \cr HD & $5\times 10^{-5}$ \cr $\mbox{CH}_3\mbox{D}$ & $2\times 10^{-5}$ \cr \hline \end{tabular} ( Moore and Hunt 1983 より) \footnotemark[1] \footnotetext[1]{総和をとっても $100 \%$ にならない} \section{練習問題} 地球, 土星大気について次の量を計算せよ. 地球のモデル大気は $ \mbox{N}_2 80 \%, \ \mbox{O}_2 20 \% $, 土星のモデル大気については $ \mbox{H}_2 94 \%, \ \ \mbox{He} 6 \% $ で考えてみよ. \begin{enumerate} \item 有効放射温度 $T_e$ \item 平均分子量 $M$ \item ( 単位質量あたりの) 定積比熱 $c_v$, 定圧比熱 $c_p$, 比熱比 $\gamma$ \item 音速 $c_s$ \item 圧力スケールハイト $H_p$ \item 断熱温度勾配 ${\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} }$ \end{enumerate} \vspace{10mm} \subsection{解答} \begin{center} \begin{tabular}{||c||c|c||} \hline 物理量 & 土星 & 地球 \cr \hline 有効放射温度 $T_e$ (K) & 78.43 & 255.0 \cr 平均分子量 $M$ & 2.12 & 28.8 \cr 定積比熱 (単位質量) $c_v$ ($\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}$) & 9564.3 & 721.4 \cr 定圧比熱 (単位質量) $c_p$ ($\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}$) & 13484 & 1009.9 \cr 比熱比 $\gamma$ & 1.41 & 1.4 \cr 音速 $c_s$ ($\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}$) & 658.4 & 321.0 \cr 圧力スケールハイト $H_p$ (Km) & 33.0 & 7.51 \cr 断熱温度勾配 ($\mbox{K}\cdot\mbox{Km}^{-1}$) & 0.69 & 9.70 \cr \hline \end{tabular} \end{center} \newpage \section{練習問題解答例} \begin{enumerate} \item 有効放射温度 $T_e$\\ 太陽定数を $S$, アルベドを $A$ , ステファン-ボルツマン定数を $\sigma$ とすると, 有効放射温度を定める式は \begin{displaymath} \frac{1}{4}(1-A)S = \sigma T_e^4 \end{displaymath} である. 地球大気の場合には \begin{displaymath} \frac{1}{4}(1-0.3) \times 1370 = 6.67 \times 10^{-8} T_{e Earth}^4 \end{displaymath} よって \begin{displaymath} T_{e Earth} = 255.0 \ \ (\mbox{K}) \end{displaymath} 土星大気の場合には \begin{displaymath} \frac{1}{4}(1-0.33) \times 1370 \times 0.011 = 6.67 \times 10^{-8} T_{e Saturn}^4 \end{displaymath} よって \begin{displaymath} T_{e Saturn} = 78.43 \ \ (\mbox{K}) \end{displaymath} \item 平均分子量 $M$ \begin{eqnarray*} & & M_E = 0.8 \times 28 + 0.2 \times 32 = 28.8, \\ & & M_S = 0.94 \times 2 + 0.06 \times 4 = 2.12 \\ \end{eqnarray*} \item ( 単位質量あたりの) 定積比熱 $c_v$, 定圧比熱 $c_p$, 比熱比 $\gamma$ 地球では 2 原子分子であるから \begin{eqnarray*} & & c_v = \frac{5}{2} R = \frac{5}{2} \times \frac{8.31}{28.8 \times 10^{-3}} = 721.4 \ \ (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\ & & c_p = \frac{7}{2} R = \frac{7}{2} \times \frac{8.31}{28.8 \times 10^{-3}} = 1009.9 \ \ (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\ & & \gamma = \frac{7}{5} = 1.4 \end{eqnarray*} 土星大気は 1原子分子と 2 原子分子の混合気体であるから \begin{eqnarray*} & & c_v = \frac{5}{2} R \times 0.94 + \frac{3}{2} R \times 0.06 = 2.44 R = 2.44 \times \frac{8.31}{2.12 \times 10^{-3}} = 9564.3 \ \ (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\ & & c_p = c_v + R = 3.44 R = 3.44 \times \frac{8.31}{2.12 \times 10^{-3}} = 13484 \ \ (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\ & & \gamma = \frac{3.44}{2.44} = 1.41 \end{eqnarray*} \item 音速 $c_s$ 温度として先に計算した有効温度を用いることにすると, 地球大気では \begin{displaymath} c_{s E} = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1.4 \times \frac{8.31}{28.8 \times 10^{-3}} \times 255.0} = 321.0 \ \ (\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}) \end{displaymath} 土星大気では \begin{displaymath} c_{s J} = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1.41 \times \frac{8.31}{2.12 \times 10^{-3}} \times 78.43} = 658.4 \ \ (\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}) \end{displaymath} \item 圧力スケールハイト $H_p$ 温度を先に求めた有効放射温度を用いると, 地球大気の場合には \begin{displaymath} H_{p E} = \frac{RT}{g} = \frac{8.31}{28.8\times 10^{-3}} \times 255.0 \times \frac{1}{9.8} = 7507.1 \ \ (\mbox{m}) = 7.51 \ \ (\mbox{Km}) \end{displaymath} 土星大気の場合には \begin{displaymath} H_{p J} = \frac{RT}{g} = \frac{8.31}{2.12\times 10^{-3}} \times 78.43 \times \frac{1}{9.8 \times 0.95} = 33021 \ \ (\mbox{m}) = 33.0 \ \ (\mbox{Km}) \end{displaymath} \item 断熱温度勾配 ${\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} }$ 理想気体の場合, 断熱温度勾配は ${\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} = - \frac{g}{c_p}}$ であるから, 地球大気の場合には \begin{displaymath} \left| \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} \right| = \frac{9.8}{1009.9} = 0.00970 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{m}^{-1}) = 9.70 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{Km}^{-1}) \end{displaymath} 土星大気の場合には \begin{displaymath} \left|\left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} \right| = \frac{9.8 \times 0.95}{13484} = 0.000690 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{m}^{-1}) = 0.69 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{Km}^{-1}) \end{displaymath} \end{enumerate} \section{参考文献} \begin{description} \item Moore,P.,Hunt.G.,1983 : Atlas of the solar system. Rand McNally \& Company, 464pp. 清水幹夫訳 : 図説我らの太陽系 \item 国立天文台, 1990 : 理科年表, 丸善, 1032pp. \end{description} {\Large \bf 謝辞} \vspace{1em} 本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 原作版は竹広真一による「土星現象論」 (90/07/23) であり, 林祥介・豊田英司によって地球流体電脳倶楽部版「木星現象論」 として書き直された (96/07/22). 構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてにも 感謝しなければならない. \end{document}