\Zsection{境界条件} 

流体の運動を記述をするためには, 
さきに導出した方程式系, 
すなわち質量保存則, 運動量保存則, エネルギー保存則に加えて, 
境界条件が必要である. 

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境界で与えるべき情報は, 
質量フラックス, 運動量フラックス, エネルギーフラックスである. 
しかし普通, 境界条件としては, 
境界におけるフラックスを直接与えるのではなく, 
物理的意味付けのはっきりした変数, 
例えば, 圧力, 速度の境界における値を与えることが多い. 
その場合, 
与えられた条件が境界における各フラックスの値を決めているかどうかは, 
問題に応じて考察, 確認しなければならない\footnotemark[1]. 
\footnotetext[1]{
実戦的には, 1次の差分スキームをつくって検討するとよい. }

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以下では, 通常よく用いられる境界条件の例を示す. 

\Zsubsection{固体境界}

静止した固体表面において, 流体が満たすべき条件を挙げる. 

質量保存則より, 固体表面を通しての質量流束は $ 0 $ であるから, 

\begin{equation}
   \Vectm{v} \cdot \Vectm{n} = 0 \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}

$ \Vectm{n} $ は固体表面の法線ベクトルである. 
\vspace{5mm}

粘性流体の場合は, 
これだけでは条件が不足して解くことができないので, 
境界条件を付け加える必要がある. 
固体表面では流体は密着していると考えて（粘着条件）, 


\begin{equation}
    \Vectm{v} = 0 \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}

\vspace{1cm}
一般に, 動いている物体の表面での条件を, 
物体が静止している場合をもとに, 考える. 

境界を通しての質量フラックスが 0 であるから, 
境界面の法線方向の速度成分が一致する. すなわち, 

\begin{equation}
   \Vectm{v} \cdot \Vectm{n} = \Vectm{v}^{(s)} \cdot \Vectm{n}
   \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}

ただし $\Vectm{v}^{(s)}$ は物体の表面速度である. 
\vspace{5mm}

粘性流体の場合の対応する粘着条件は, 
流体の速度と物体表面の速度が一致することである. 

\begin{equation}
  \Vectm{v} = \Vectm{v}^{(s)} \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}

\vspace{10mm}

さらにこの他に, 
熱に関する境界条件が必要である. 
これは, 問題設定により異なるので, ここでは述べない\footnotemark[2]. 

\footnotetext[2]{
  例えばよく用いられるのは, 
  断熱条件 $ \  q_k =0. \ \ \  \mbox{at surface}$ である. 
  あるいは, Benard 問題のように, $T$ を fix にすることである. }
 
\Zsubsection{２種類の流体の境界面}

まじりあわない２種類の流体の境界面を考える. 
境界面を通しての質量流束は $ 0 $ である. 
これより境界面の速度 $ \Vectm{v^{(s)}} $ と
各流体の速度 $ \Vectm{v^{(1)}},\Vectm{v^{(2)}} $ は

\begin{equation}
   \Vectm{v^{(s)}} \cdot \Vectm{n} 
 = \Vectm{v^{(1)}} \cdot \Vectm{n} 
 = \Vectm{v^{(2)}} \cdot \Vectm{n} \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}

すなわち, 境界面の法線方向の速度が等しい. 
\vspace{10mm}

粘性流体の場合には粘着条件がよく用いられる. 

\begin{equation}
   \Vectm{v^{(1)}} = \Vectm{v^{(2)}} \ \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}

\vspace{15mm}

流体同士の境界面では, 
境界面に垂直な方向の運動量流束が連続でなければならない. 
境界面 $df$ を通しての運動量流束は 
$ \Pi_{ik} n_k df =(\rho v_i v_k - \sigma_{ik} ) n_k df$ 
である. 

\vspace{5mm}
したがって, 境界条件は, 
\begin{eqnarray*}
\Pi_{ik}^{(1)} n_k df & = & \Pi_{ik}^{(2)} n_k df ,  \\
(\rho^{(1)} v_i^{(1)} v_k^{(1)} - \sigma_{ik}^{(1)} ) n_k df
 & = & (\rho^{(2)} v_i^{(2)} v_k^{(2)} - \sigma_{ik}^{(2)} ) n_k df , 
\end{eqnarray*}
である\footnotemark[1]. 
ただし, 添え字 $(1), (2)$ は, 
それぞれ, 流体 $(1), (2)$ の物理量であることを示す. 
\footnotetext[1]{
これが
互いに相手の流体に働く力になる. 
この境界条件は, 
相手の流体に働く力同士は, 大きさが等しく, 
向きが反対になること---作用反作用の法則---と同値である. }

\vspace{5mm}
まず, 理想流体の場合には, 
\begin{eqnarray*}
(\rho v_i^{(1)} v_k^{(1)} + p \delta_{ik}^{(1)} ) n_k df
 & = & (\rho v_i^{(2)} v_k^{(2)} + p \delta_{ik}^{(2)} ) n_k df \\ 
(\rho^{(1)}  v_i^{(1)}  v_k^{(1)}  )n_k + p^{(1)} n_i df
 & = & (\rho^{(2)} v_i^{(2)} v_k^{(2)} ) n_k + p^{(2)} n_i df .  
\end{eqnarray*}

(30) より,  $v_k^{(1)} n_k^{(1)} =v_k^{(2)} n_k^{(2)} = 0$ だから, 
境界条件は, 
\begin{equation}
   p^{(1)} = p^{(2)} \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}.
\end{equation}
すなわち, 圧力が連続であることが境界条件となる. 

\vspace{5mm}
粘性流体の場合には, 
粘着条件より $ \Vectm{v}^{(1)} = \Vectm{v}^{(2)} = 0$ だから, 
\begin{equation}
    \sigma_{ik}^{(1)} n_{k} = \sigma_{ik}^{(2)} n_{k}
     \ \ \ \ \ \ \mbox{at surface}. 
\end{equation}
が境界条件である.