\Zsection{Navier-Stokes 方程式} 

$(3)$ に応力テンソルの表現 (6) を代入することにより, 
Newton流体の一般的な運動方程式が得られる. 
\vspace{5mm}

\begin{screen}
\begin{eqnarray}
       \rho \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t} 
     + v_{k} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} \right)
 &=& - \frac{\partial p}{\partial x_{i}}
     + \frac{\partial}{\partial x_{i}} 
          ( \zeta \cdot \mbox{div} \Vectm{v} ) 
\nonumber \\
 & & + \frac{\partial}{\partial x_{k}}
        \left\{ \eta 
          \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}}
                 + \frac{\partial v_{k}}{\partial x_{i}} 
                 - \frac{2}{3} \frac{\partial v_l}{\partial x_l} \right)
        \right\}
     - \rho \frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}} 
%s      + \rho f_{i}
.
\end{eqnarray}
\end{screen}
これを Navier-Stokes 方程式\footnotemark[1]という.
  \footnotetext[1]
    {Navier-Stokes 方程式という名称は非圧縮の場合の式について使われる
     ものであると思っていた(例えば, 今井 1973)が,
     最近の流行(例えば, 流体力学ハンドブック (1987) P.14)では
     圧縮性がある場合について Navier-Stokes 方程式と呼び,
     非圧縮の場合には 非圧縮の Navier-Stokes 方程式と呼ぶようである.
    }
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特に, 次の仮定が成り立つ場合, 運動方程式 (6) は簡単な形になる. 
\begin{itemize}
\item 非圧縮流体である, 
すなわち ${\displaystyle \frac{d \rho}{d t} = 0}$ とみなせる. 
このとき, ${\displaystyle \mbox{div} \Vectm{v} = \PD{}{v_l}{x_l} = 0 }$
 である. 

\item 粘性率 $\eta$ が流体中で大きく変化しない. 
\end{itemize}

\begin{screen}
\begin{equation}
      \rho 
        \left( \frac{\partial v_{i}}{\partial t}
              + v_{k} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}} \right)
  = - \frac{\partial p}{\partial x_{i}} 
    + \eta \frac{\partial^{2} v_{i}}{\partial x_{k}^{2}} 
    - \rho \frac{\partial \Phi}{\partial x_{i}} 
%    + \rho f_{i}
   .
\end{equation}
\end{screen}
\vspace{5mm}

これが非圧縮での Navier-Stokes 方程式\footnotemark[1]である. 
ベクトル形式で書けば
\vspace{5mm}

\begin{screen}
\begin{equation}
     \rho 
       \left(   \frac{ \partial \Vectm{v}}{\partial t} 
              + \Vectm{v} \cdot \mbox{grad} \Vectm{v}   \right)
 = - \mbox{grad} p + \eta \nabla^{2} \Vectm{v} 
   - \rho \cdot \mbox{grad} \Phi 
%   + \rho \Vectm{f}
 .
\end{equation}
\end{screen}
\vspace{5mm}

あるいは $\rho$ で割って
\vspace{5mm}

\begin{screen}
\begin{equation}
     \frac{ \partial \Vectm{v}}{\partial t} 
   + \Vectm{v} \cdot \mbox{grad} \Vectm{v}
 = - \frac{1}{\rho} \mbox{grad} p 
   + \nu \nabla^{2} \Vectm{v} 
   - \mbox{grad} \Phi 
%   + \Vectm{f}
   .
\end{equation}
\end{screen}
\vspace{5mm}

$\nu \equiv \displaystyle{ \frac{\eta}{\rho} }$
\ は動粘性係数（率）と呼ばれる.