%表題   連続体力学: 基礎法則
%
%履歴   1989-04-21 竹広真一       流体力学の基礎 / 流体力学の基礎方程式
%       1990-04-23 保坂征宏
%       1996-04-23 林 祥介        「基礎法則」へ
%       1999-08-06 林 祥介        最新版
%       2000-05-16 竹広真一       旧 GFD ノート「スカラー量の保存」と
%                                 「角運動量保存則」を統合
%       2002-07-14 竹広真一       細かな修正

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\usepackage{Dennou6}

\Dtitle{連続体力学: 基礎法則}
\Dauthor{林 祥介, 竹広 真一}
\Ddate{2002 年 07 月 14 日}
\Dpath{/riron/renzoku/housoku/src/}
\Dnoparindent
\Dparskip

\begin{document}

%\pagenumbering{roman}
\maketitle
\tableofcontents
%\clearpage
%\pagenumbering{arabic}

\begin{abstract}
連続体の運動を記述するための一連の方程式である
連続の式(質量保存則)・運動方程式(運動量保存則)・
熱の式(エネルギー保存則),
について述べる. 

これらの方程式を導く方法として, 物質に固定した領域にて
物理量(質量, 運動量, エネルギー)のやりとりを書き下す方法と
空間に固定した領域で行う方法の 2 通りがある. 

極性のない物質では
運動量保存則の結果を用いて角運動量を診断的に求めることができる. 
この場合, 角運動量保存則は独立な方程式を与えることはなく, 
応力の表現に制限を与えるだけである. 
\end{abstract}

%--------------------------------------------------------------------
\Dparskip
%--------------------------------------------------------------------
\newpage
\section{物質に固定した領域を用いた導出}

  \subsection{連続の式 = 質量保存則}

    連続体内の物質の運動とともにうごく領域 $D(t)$ に対して, 
    その質量は連続体の変形にはよらず変化しないことを考えると, 
    \begin{equation}
       \DD{}{t} \int_{D(t)} \rho dV =  0. 
    \end{equation}
    %
    時間微分と積分を入れ換えれば(\Dsecref{積分交換})
    \begin{eqnarray*}
       \int_{D(t)} \left(\DD{\rho}{t} +  \rho \Ddiv\Dvect{v}\right) dV =  0
    \end{eqnarray*}
    %
    $D$ を任意の無限小領域として選んで良いので
    %
    \begin{eqnarray}
       \DD{\rho}{t} + \rho \Ddiv \Dvect{v} =  0.    
         \Deqlab{ラグランジュ質量保存則}
    \end{eqnarray}
    %
    この式は, 流体粒子に伴う密度変化が, 
    体積変化 $\Ddiv \Dvect{v}$ のみにより生じることを示している. 
    
    さらに変形すると
    %
    \begin{eqnarray}
       \DP{\rho}{t} + \Ddiv (\rho \Dvect{v}) = 0,   
          \Deqlab{オイラー質量保存則}
    \end{eqnarray}
    と表すことができる. 
    この表現は空間に固定した領域での質量変化を微視的に表している. 
    空間に固定したある点での密度変化は, 
    周囲から流入あるいは流出する質量流束 $\rho \Dvect{v}$ の
    収束・発散により引き起こされる. 


  \subsection{運動量方程式: オイラーの第一法則}

    連続体の運動方程式は連続体内の領域 $D$ に対して
    ニュートン力学を適用すれば次のように書き下せる:
    \begin{eqnarray}
       \DD{}{t} \int_{D} \Dvect{v}(\Dvect{x}) \rho dV
            & = & \oint_{\partial D} \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
                + \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV
                                    \Deqlab{eq-body-m}
    \end{eqnarray}
    ここで, 
    $\Dvect{v}(\Dvect{x})$ は連続体の各点における連続体物質の運動速度であり, 
    \begin{eqnarray}
       \int_{D} \Dvect{v}(\Dvect{x}) \rho dV
    \end{eqnarray}
    は連続体領域 $D$ が持つ全運動量に他ならない.
    
    \Deqref{eq-body-m}は領域 $D$ の流体が
    連続体の領域 $D$ に働く力により加速されることを表している. 
    ここで領域に働く力として考えているものは, 
    各点に働く体積力 $\Dvect{F}_{b}(\Dvect{x})$ と,
    表面 $\partial D$ に働く応力 
    $\Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x})$ である.

    積分形で表現されるこの運動方程式を特に
    オイラーの第一運動法則という(Euler's first law of motion )
    ことがある.

    時間積分と空間微分を交換することにより
    \begin{eqnarray*}
        \int_{D} \rho \DD{\Dvect{v}}{t} dV
            & = & \oint_{\partial D} \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
                + \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV. 
    \end{eqnarray*}
    %
    さらに応力は応力テンソル $\sigma_{ij}$ を用いて
    %
    \begin{eqnarray}
      \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
        & = & \sum_{ij} \sigma_{ij} (\Dvect{x}) \Dvect{e}_{i} 
                (\Dvect{e}_{j}, \Dvect{n})
          =  \sum_{ij} \sigma_{ij} (\Dvect{x}) n_j \Dvect{e}_{i} 
    \end{eqnarray}
    と表される(「連続体の基礎 : 応力」参照)ので
    %
    \begin{eqnarray*}
        \int_{D} \rho \DD{\Dvect{v}}{t} dV
            & = & \oint_{\partial D} 
                  \sigma_{ij}n_j \Dvect{e}_{i} dS
                 + \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV \\
            & = & \int_{D} 
                  \DP{\sigma_{ij}}{x_j}\Dvect{e}_{i} dV
                 + \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV. 
    \end{eqnarray*}
    %
    したがって, 各成分の式で表せば
    \begin{eqnarray*}
        \int_{D}\left( \rho \DD{v_i}{t}
                       - \DP{\sigma_{ij}}{x_j} - F_{bi} \right)dV = 0. 
    \end{eqnarray*}
    %
    任意の領域 $D$ について成り立たねばならないので
    \begin{eqnarray*}
        \rho \DD{v_i}{t} - \DP{\sigma_{ij}}{x_j} - F_{bi} = 0. 
    \end{eqnarray*}
    すなわち
    \begin{equation}
        \rho \DD{v_i}{t} = \DP{\sigma_{ij}}{x_j} + F_{bi}. 
        \Deqlab{運動方程式}
    \end{equation}
    これが連続体の運動方程式である. 

    さらに物質微分を書き直して質量保存則を用いると
    \begin{equation}
        \DP{(\rho v_i)}{t} + \DP{}{x_j}(\rho v_i v_j - \sigma_{ij})
            =  F_{bi}.
        \Deqlab{運動量保存則}
    \end{equation}
    これが連続体の運動量保存則である. 




  \subsection{連続体の角運動量保存則: オイラーの第二法則}

    連続体の角運動量方程式は連続体内の領域 $D$ に対して
    ニュートン力学を適用すれば次のように書き下せる: 
    \begin{eqnarray}
       \DD{}{t} \int_{D} \Dvect{j} \rho dV
            & = & \oint_{\partial D}
                    \Dvect{x} \times \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
                + \int_{D}
                    \Dvect{x} \times \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV
                                    \Deqlab{eq-body-am}
    \end{eqnarray}
    %
    $\Dvect{j}$ は角運動量密度であり, 
    \begin{eqnarray}
            \Dvect{j} = \Dvect{x} \times \Dvect{v}(\Dvect{x}) + \Dvect{s}
    \end{eqnarray}
    である. ここで $\Dvect{s}$ は微視的な内部角運動量である. 
    通常の非極性物質(nonpolar material) では
    内部角運動量を考えることはなく,
    \begin{eqnarray}
            \Dvect{j} = \Dvect{x} \times \Dvect{v}(\Dvect{x})
    \end{eqnarray}
    とする. 

    \Deqref{eq-body-am}は領域 $D$ の流体の全角運動量が
    連続体の領域 $D$ に働く力のトルクにより
    変化させられることを示している. 

    積分形で表現されるこの角運動量の式を特に
    オイラーの第二運動法則という (Euler's first law of motion )
    ことがある. 

    応力が応力テンソル $\sigma_{ij}$ で
    %
    \begin{eqnarray}
      \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
        & = & \sum_{ij} \sigma_{ij} (\Dvect{x}) \Dvect{e}_{i} 
                (\Dvect{e}_{j}, \Dvect{n})
          =  \sum_{ij} \sigma_{ij} (\Dvect{x}) n_j \Dvect{e}_{i} 
    \end{eqnarray}
    と表されることを用いて(「連続体の基礎 : 応力」参照), 
    各成分の式として表すと
    \begin{eqnarray*}
       \DD{}{t} \int_{D} j_i \rho dV
            & = & \oint_{\partial D}
                    \epsilon_{ijk} x_j \sigma_{kl} n_l dS
                + \int_{D}\epsilon_{ijk} x_j F_{bk} dV
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで $\epsilon_{ijk}$ は... テンソルである. 

    時間微分と空間積分を交換し, Gauss の定理を用いると
    \begin{eqnarray*}
       \int_{D} \DD{j_i}{t}  \rho dV
            & = & \int_D  \DP{}{x_l} (\epsilon_{ijk} x_j \sigma_{kl} )dV
                + \int_D \epsilon_ {ijk} x_j F_{bk} dV, 
    \end{eqnarray*}
    %
    左辺は, 時間部分が物質微分であることに注意すると
    \begin{eqnarray*}
       \DD{j_i}{t} & = & \DD{}{t} (\epsilon_{ijk}x_j v_k + s_i)
                     =   \epsilon_{ijk} \DD{x_j}{t} v_k 
                           + \epsilon_{ijk} x_j \DD{v_k}{t} + \DD{s_i}{t} \\
                   & = &  \epsilon_{ijk} v_j v_k 
                        + \epsilon_{ijk} x_j \DD{v_k}{t}
                        + \DD{s_i}{t} 
                     =    \epsilon_{ijk} x_j \DD{v_k}{t}
                        + \DD{s_i}{t} 
    \end{eqnarray*}
    %
    右辺第 1 項目は
    \begin{eqnarray*}
       \DP{}{x_l} (\epsilon_{ijk} x_j \sigma_{kl} )
            &=&   \epsilon_{ijk}\DP{x_j}{x_l} \sigma_{kl}
               + \epsilon_{ijk} x_j \DP{\sigma_{kl}}{x_l}\\
            &=&   \epsilon_{ijk} \delta_{jl}\sigma_{kl}
               + \epsilon_{ijk} x_j \DP{\sigma_{kl}}{x_l}
             =   \epsilon_{ijk} \sigma_{kj}
               + \epsilon_{ijk} x_j \DP{\sigma_{kl}}{x_l}
    \end{eqnarray*}
    %
    これらを代入して整理すると
    %
    \begin{eqnarray*}
        \int_{D} \epsilon_{ijk} x_j 
                  \left(   \rho \DD{v_k}{t} 
                         -\DP{\sigma_{kl}}{x_l} - F_{bk} \right) dV
      + \int_{D}\rho \DD{s_i}{t} dV 
      = \int_{D}  \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} dV 
    \end{eqnarray*}
    運動方程式\Deqref{eq-body-m}を代入することにより
    \begin{eqnarray*}
       \int_{D}( \rho \DD{s_i}{t} - \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} )dV = 0.
    \end{eqnarray*}
    任意の領域 $D$ について成り立たねばならないので
    \begin{equation}
       \rho \DD{s_i}{t} - \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} = 0.
    \end{equation}
    となり, 内部角運動量の時間変化を表す式が得られる. 

    非極性物質の場合にはこの式は単に
    \begin{equation}
       \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} = 0, 
    \end{equation}
    となる. 独立な方程式を与えず, 
    応力テンソルが対称であることを制約するだけである. 
    

  \subsection{連続体のエネルギー保存則}

    流体の運動を記述するには, 質量保存則, 運動方程式に加えて, 
    流体がどのように熱を受け取るかを記述する式が必要である. 
    ここではエネルギー保存則から出発して, 
    流体の熱のやりとりの仕方を表わす式 --- 熱輸送の式 --- を導く. 

    \subsubsection{エネルギー保存則}

      % \underline{保存力のポテンシャルエネルギー $\Phi$ が
      % 時間変化しない}という, 気象学ではよく用いられる状況のもとでは, 
      % エネルギーが保存することを示す. 

      流体とともに運動する領域 $D'$ を考える. 
      領域内の流体になされる仕事と流体が受け取る熱は
      %
      \begin{itemize}
        \item 領域を囲む閉曲面 $\partial D'$ に働く応力がする仕事
        \item 体積力のする仕事
        \item 閉曲面を通して流れ込む熱
      \end{itemize}
      %
      である. 
      熱力学第１法則（エネルギー保存則）によれば, 
      加えられた仕事と熱が
      流体の運動エネルギーと内部エネルギーの増加に等しい. 
      したがって $D'$ についてのエネルギーの式は次のようになる. 
      %
      \begin{displaymath}
         \DD{}{t} \int_{D'} \rho 
                 \left(   \frac{1}{2} v_i^2
                                   + \varepsilon \right) dV 
       =    \oint_{\partial D'} \sigma_{ik} v_i n'_k dS
          + \int_{D'} F_{bi} v_i dV
          - \oint_{\partial D'} q_k n'_k dS
      \end{displaymath}
      %
      $\varepsilon$ は単位質量当りの流体の内部エネルギー, 
      $q_i$ は閉曲面を通して流れ込む熱流束\footnotemark[1]である. 
      Gaussの定理を用いて変型すると\footnotemark[2]
      %
      \footnotetext[1]{
      熱流束として考えるものはおもに次の2つである. 
      \begin{itemize}
        \item 熱伝導 による熱流束 $\Dvect{q}^T$

           流体中に温度勾配が存在するとき, それを解消する方向に
           熱流束が生じる

        \item 放射による熱流束 $\Dvect{q}^{rad}$
      \end{itemize}
      %
      特に熱伝導による熱流束は, 
      考える流体中の温度勾配が十分小さいとき, 
      \ $ \displaystyle{     q^T_i 
                         = - \kappa_{ij} \DP{T}{x_j}}$
      と表わされる. }
      %
      \footnotetext[2]{
      左辺の時間微分と空間積分の演算の順序の交換については, 
      別シリーズ`スカラー量の保存'参照.}
      %
      \begin{displaymath}
        \int_{D'} \rho \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} v_{i}^{2}
                                       + \varepsilon \right) dV 
       =    \int_{D'} \DP{}{x_k}( v_i\sigma_{ik} ) dV
          + \int_{D'} F_{bi}  v_i dV 
          - \int_{D'}\DP{q_k}{x_k} dV.
      \end{displaymath}
      %
      領域 $ D' $ が任意にとれることから
      %
      \begin{displaymath}
        \rho \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} v_i^2 + \varepsilon \right) 
       =  \DP{}{x_k}( v_i\sigma_{ik} ) 
         + F_{bi} v_i  -  \DP{q_k}{x_k} .
          \Deqlab{}
      \end{displaymath}
      %
      あるいは質量保存則を用いると
      %
      \begin{equation}
        \DP{}{t} \left[ \rho \left( \frac{1}{2} v_i^2 
                                    + \varepsilon \right) \right]
         + \DP{}{x_k} \left[ 
             \rho \left( \frac{1}{2} v_i^2 + \varepsilon \right) v_k
             -\sigma_{ik} v_i  + q_k \right] \\
        = F_{bi} v_i. 
        \Deqlab{エネルギー保存則}
      \end{equation}
      これが連続体のエネルギー保存則である. 

      特に体積力が保存力であり, 
      時間変化しないポテンシャルエネルギー $\Phi$ で
      \begin{equation}
        \Dvect{F_b} = - \rho \Dgrad \Phi, 
      \end{equation}
      と表される場合を考えよう\footnotemark. 
      \footnotetext{
        ポテンシャルが時間変化する場合, 
        例えば重力がその密度分布により定まる場合には
        エネルギーは保存しないのであろうか? }
      このとき, 左辺は次のように変型できる. 
      %
      \begin{displaymath}
          F_i v_i = - \rho \DP{\Phi}{x_i} v_i = - \rho \DD{\Phi}{t}
            = - \DP{(\rho \Phi)}{t} - \Ddiv (\rho\Phi\Dvect{v})
      \end{displaymath}
      %
      したがってエネルギー保存則は
      %
      \begin{eqnarray}
          \DP{e_{tot}}{t}
          +  \DP{}{x_k}( e_{tot} v_k - v_i \sigma_{ik} + q_k )
        = 0,
        & & \\
               e_{tot} 
        \equiv \rho \left(   \frac{1}{2} v_i^2 
                           + \varepsilon 
                           + \Phi                \right). & &
      \end{eqnarray}
      %
      となる. 
      ここで $e_{tot}$ は, 単位体積当りの流体のもつ全エネルギーである. 
       $ F_k = e_{tot} v_k - v_i \sigma_{ik} + q_k $ を
      エネルギー流束密度ベクトルという. 

      エネルギー保存則の代わりとして, 
      内部エネルギー, エンタルピー, またはエントロピーの時間変化を表す式
      を用いることも多い. 

    \subsubsection{運動エネルギーの時間変化の式}

      エネルギー保存則\Deqref{エネルギー保存則}の変形に移る前に, 
      運動エネルギーの時間変化の式をもとめておこう.
      運動方程式\Deqref{運動方程式}に $\rho v_i$ をかけて
      $i$ について和をとることにより
      運動エネルギーの時間変化の式が得られる. 

      \begin{equation}
            \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
          + \DP{}{x_k} 
              \left\{    v_k 
                       \left(   \frac{1}{2} \rho v_i^2   \right) 
                     - v_i\sigma_{ik}            \right\}
       =  F_{bi} v_i
          - \sigma_{ik} \DP{v_i}{x_k}.
        \Deqlab{運動エネルギーの式}
      \end{equation}

    \subsubsection{内部エネルギーの時間変化の式}

      \Deqref{運動エネルギーの式}を\Deqref{エネルギー保存則}から
      差し引くと内部エネルギーの式が得られる. 
      %
      \begin{equation}
            \DP{}{t} ( \rho \varepsilon ) 
               + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) 
        =   \sigma_{ik} \DP{v_i}{x_k} - \Ddiv\Dvect{q}. 
        \Deqlab{内部エネルギーの式}
      \end{equation}

    \subsubsection{エンタルピーの時間変化の式}

      質量保存則と熱力学関係式を用いて\Deqref{内部エネルギーの式}を変型する. 
      単位質量あたりのエンタルピーを $h$ とする. 
      熱力学関係式 $ \displaystyle{ h = \varepsilon + \frac{p}{\rho} } $
      \ を用いると\Deqref{内部エネルギーの式}式左辺は次のようになる. 
      %
      \begin{eqnarray*}
                 \DP{}{t} (\rho \varepsilon)
               + \Ddiv ( \rho \varepsilon \Dvect{v} )
        & = &    \DP{}{t} 
                      \left\{ \rho  \left( h - \frac{p}{\rho} \right) \right\}
               + \Ddiv 
                   \left\{ \rho \left( h - \frac{p}{\rho} \right) 
                                  \Dvect{v} \right\} \\
        & = &    \DP{}{t} (  \rho h  )
               - \DP{p}{t}
               + \Ddiv ( \rho h  \Dvect{v} )
               - \Ddiv (p \Dvect{v}) \\
        & = &    \DP{}{t} (  \rho h  )
               + \Ddiv ( \rho h  \Dvect{v} )
               - \DD{p}{t}
               - p \cdot \Ddiv \Dvect{v}
      \end{eqnarray*}
      %
      よってエンタルピーの式は
      %
      \begin{equation}
            \DD{}{t} ( \rho h )  + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) 
        =   \sigma'_{ik} \DP{v_i}{x_k}
          - \Ddiv \Dvect{q}  + \DD{p}{t}.
      \end{equation}
      %
      ただし $ \sigma_{ik}' \equiv \sigma_{ik} + p \delta_{ik} $ は
      粘性応力テンソル（応力テンソルから圧力成分 $-p \delta_{ik} $ を
      除いたもの）である. 

    \subsubsection{エントロピーの時間変化の式}

      単位質量あたりのエントロピーを $s$ とする. 
      熱力学関係式 
      \ $ \displaystyle{ d \varepsilon = T ds + \frac{p}{\rho^{2}} } d \rho $
      \ と質量保存則を用いて\Deqref{内部エネルギーの式}式左辺を変型すると, 
      %
      \begin{eqnarray*}
                 \DP{}{t} (\rho \varepsilon)
               + \Ddiv ( \rho \varepsilon \Dvect{v} )
        & = &    \rho \left( \DP{}{t} 
               + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) \varepsilon \\
        & = & 
              \rho T \left( \DP{}{t} 
                + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s
            + \frac{ p }{ \rho } \left( \DP{}{t} 
               + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) \rho  \\
        & = & 
                \rho T \left( \DP{}{t} 
                   + \mbox{\boldmath $v$} \cdot \Dgrad \right) s
              - p \Ddiv \Dvect{v}.
      \end{eqnarray*}
      %
      よってエントロピーの式は
      %
      \begin{equation}
           \rho T \left(  \DP{}{t} 
                         + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s
        =   \sigma_{ik}' \DP{v_i}{x_k}
          - \Ddiv \Dvect{q}.
          \Deqlab{エントロピーの式}
      \end{equation}
      %
      \Deqref{エントロピーの式}式は熱輸送の式とも呼ばれる. 
      左辺 ${\displaystyle  \rho T \left(  \DP{}{t} 
                         + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s }$ は
      単位時間に単位体積の流体が受け取った熱, 
      右辺第1項 ${\displaystyle \sigma_{ik}' \DP{v_i}{x_k} }$ は
      粘性散逸により発生した熱, 
      右辺第2項は熱流の収束発散である. 


   連続体の運動の時間発展を記述する方程式系は
   質量保存則\Deqref{オイラー質量保存則}, 
   運動方程式\Deqref{運動方程式}, 
   エネルギー保存則\Deqref{エネルギー保存則}で十分である. 
   連続体の運動を記述するための未知変数が 5 つであるのに対して, 
   方程式の数も 5 つである
   (質量保存則 + 運動方程式 3 成分 + エネルギー保存則). 

   しかしながら, 実際に運動を解くためには
   構成物質の物理的性質を表現する構成方程式(応力テンソルの表現)と
   熱力学関係式が必要となる. 
   「連続体力学 : 構成方程式」, 
   「流体力学 : ナビエストークス方程式」を参照のこと. 

\newpage
\section{空間に固定した領域を用いた導出}

  \subsection{単位体積あたりのスカラー量の保存則}

    空間に固定した領域 $D$ を考える. 
    単位体積当りの量として定義されたスカラー量 $A$ について, 
    領域 $D$ 内の量の時間変化は次のように書ける. 
    %
    \begin{displaymath}
      \DP{}{t} \int_{D}A (\Dvect{x},t)dV 
         = - \oint_{\partial D} \Dvect{F} \cdot \Dvect{n} dS 
           + \int_{D} Q [A] (\Dvect{x},t)dV.
    \end{displaymath}
    %
    ただし $\partial D$ は $D$ の表面を表し, 
    $\Dvect{n}$ は $\partial D$ における外向き単位法線ベクトルを表す. 

    $\Dvect{F}$ は $A$ に関する流速密度 (flux density)であり, 
    右辺第１項は単位時間当りに $\partial D$ を通して
    \ $D$ 内に流れ込む $A$ の量である. 
    $Q [A]$ は単位体積$ \cdot $単位時間当りの 
    $A$ の生成$ \cdot $消滅 (source, sink)を表わす. 

    空間積分と時間微分を交換し, Gauss の定理を用いて変形すると

    \begin{displaymath}
      \int_{D} \left( \DP{A}{t} + \Ddiv \Dvect{F} \right) dV 
         = \int_{D} Q [A] dV. 
    \end{displaymath}

    領域 $D$ のとりかたは任意であるから
    被積分関数が等しくなければならない. 

    \begin{equation}
      \DP{A}{t} + \Ddiv \Dvect{F} = Q [A].
    \end{equation}

    これがスカラー量の保存を表わす式である. 

    特に, $\Dvect{F}$ が流体の運動による移流の部分 $A \Dvect{v}$ と, 
    その他の部分 $\Dvect{F}'$ に分けられるときは次のように書ける. 

    \begin{equation}
        \DP{A}{t} + \Ddiv ( A \Dvect{v} + \Dvect{F}') 
      = Q [A].
    \end{equation}

  \subsection{質量保存則}

    $A$ として, 単位体積当りの質量(密度) $\rho$ を考える. 
    質量の変化は境界面を通しての質量の流入・流出にのみ引き起こされる. 
    すなわち, 
    %
    \begin{displaymath}
      \Dvect{F} = \rho \Dvect{v}, \quad Q [\rho] = 0,
    \end{displaymath}
    %
    であるから
    %
    \begin{equation}
        \DP{\rho}{t} + \Ddiv (\rho \Dvect{v})  = 0.
    \end{equation}
    となる. 


  \subsection{運動量保存則}

    $A$ として単位体積当りの運動量の $i$ 成分 $\rho v_i$ を考える. 
    % \footnotemark[2]
    % \footnotetext[2]{厳密には $v_i$ はスカラーではないが, 
    % 
    % スカラーと見なしてよい. }
    %
    運動量の時間変化を与えるものは, 
    境界を通しての流れによる運動量の移流, 
    境界面を通じて与えられる面積力による力積, 
    それに体積力による力積である. 
    すなわち, 
    %
    \begin{eqnarray*}
     & & ( F_{i} )_{k} 
      =  \Pi_{ik}
      =  \rho v_i v_k - \sigma_{ik} ,
    \\
    & & Q [\rho v_i] 
      = - \rho \DP{\Phi}{x_i},
    \end{eqnarray*}
    %
    とおくことにより, 運動量保存則が得られる. 
    %
    \begin{equation}
         \DP{}{t}(\rho v_i) + \DP{}{x_k} (\rho v_i v_k - \sigma_{i k})
     = - \rho \DP{\Phi}{x_i}. 
    \end{equation}

  \subsection{エネルギー保存則}

    ポテンシャルが時間によらない場合について考える. 
    $A$ として単位体積当りの全エネルギ− 
    $ {\displaystyle e_{tot} \equiv 
    \rho \left(\frac{1}{2} v^2 + \varepsilon + \Phi \right) } $ を考える. 
    エネルギーの時間変化は境界面を通しての面積力による仕事, 熱流のみである. 

    \begin{eqnarray*}
     & & F'_i = - \sigma_{ij} v_j + q_i , 
    \\
     & & Q[ e_{tot}] =0. 
    \end{eqnarray*}
    全エネルギーが保存しなければならないのでソース項は 0 である. 
    したがって,
    %
    \begin{equation}
       \DP{e_{tot} }{ t } + \DP{}{x_i}
          \left( e_{tot} v_i - \sigma_{ij} v_j + q_i \right) =0.
    \end{equation}

\appendix
\section{補遺 : 積分と微分の交換}
\Dseclab{積分交換}

    ある物理量 $A$ の時間変化のを定める式を求める際には, 
    流体とともに運動する領域 $D$ における時間変化
    %
    \begin{equation}
      \DD{}{t} \int_{D(\Dvect{x},t)} A (\Dvect{x},t)dV
    \end{equation}
    %
    において, 空間積分と時間微分を交換しなければならなくなる. 
    ここではその公式であるレイノルズの輸送定理 (Reynolds' transport theorem)
    \footnotemark を導出する. 
    \footnotetext{この名前は流体解析ハンドブックにて紹介されていた. }

    左辺の積分について, 
    積分変数を $\Dvect{x}$ から流体粒子のラベル座標\footnotemark[1]
    $\Dvect{\xi}=(\xi,\eta,\zeta) $ に変換する. 
    \footnotetext[1]{例えば, $t=t_0$ における流体粒子の位置とすることが多い. }
    %
    \begin{displaymath}
        \DD{}{t} \int_{D(\Dvect{x},t)} A (\Dvect{x},t)dV 
      = \DD{}{t} \int_{D'_{\xi}}
            A (\Dvect{\xi},t) \DP{\Dvect{x}}{\Dvect{\xi}} 
              d\xi d\eta d\zeta .
    \end{displaymath}
    %
    $D'$ が流体とともに運動するので, 
    $\Dvect{\xi}$ 座標での積分領域 $D'_{\xi}$ は
    任意の時間で変化しない. 
    したがって時間微分は空間積分と交換する. 
    %
    \begin{displaymath}
        \DD{}{t}
          \int \int \int_{D'_{\xi}} 
            A (\Dvect{\xi},t) \DP{\Dvect{x}}{\Dvect{\xi}} 
              d\xi d\eta d\zeta 
      = \int \int \int_{D'_{\xi}} 
          \DD{}{t} \left(
            A (\Dvect{\xi},t) \DP{\Dvect{x}}{\Dvect{\xi}} 
              d\xi d\eta d\zeta \right)
    \end{displaymath}
    %
    この時間微分は, ラベル座標一定のもとで実行する 
    Lagrange 微分であることに注意しよう. 
    $\Dvect{x}$ が $\Dvect{\xi},t$ の関数であることに注意して
    右辺は次のように変形される.
    %
    \begin{eqnarray*}
      & &  \int_{D'_{\xi}} 
             \DD{}{t} \left(
               A (\Dvect{\xi},t) \DP{\Dvect{x}}{\Dvect{\xi}} 
           d\xi d\eta d\zeta \right)\\
      & = &  
           \int_{D'_{\xi}} 
             \DD{A(\xi,t)}{t} \DP{\Dvect{x}}{\Dvect{\xi}}
                d\xi d\eta d\zeta
         + \int_{D'_{\xi}} 
             A(\Dvect{\xi},t)
               \DD{}{t} \left(\DP{\Dvect{x}}{\Dvect{\xi}}\right)
           d\xi d\eta d\zeta
       \\
      & = & 
           \int_{D'(\Dvect{x},t)} \DD{A(\Dvect{x},t)}{t} dx dy dz
         + \int_{D'_{\xi}} 
             A(\Dvect{\xi},t)
                \left( 
                      \DP{(\dot{x},y,z)}{(\xi,\eta,\zeta)}
                    + \DP{(x,\dot{y},z)}{(\xi,\eta,\zeta)}
                    + \DP{(x,y,\dot{z})}{(\xi,\eta,\zeta)}
                  \right) d\xi d\eta d\zeta 
      \\
      & = & 
           \int_{D'(\Dvect{x},t)} \DD{A(\Dvect{x},t)}{t} dx dy dz
         + \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
             A(\Dvect{x},t) 
                  \left( 
                      \DP{(\dot{x},y,z)}{(\xi,\eta,\zeta)}
                    + \DP{(x,\dot{y},z)}{(\xi,\eta,\zeta)}
                    + \DP{(x,y,\dot{z})}{(\xi,\eta,\zeta)}
                  \right) \DP{\Dvect{\xi}}{\Dvect{x}} dxdydz
      \\
      & = &
          \int_{D'(\Dvect{x},t)} \DD{A}{t} dx dy dz\\
          & & 
        + \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            A(\Dvect{x},t) 
                \left( \DP{(\dot{x},y,z)}{(\xi,\eta,\zeta)}
                       \DP{(\xi,\eta,\zeta)}{(x,y,z)}
                     + \DP{(x,\dot{y},z)}{(\xi,\eta,\zeta)}
                       \DP{(\xi,\eta,\zeta)}{(x,y,z)}
                     + \DP{(x,y,\dot{z})}{(\xi,\eta,\zeta)}
                       \DP{(\xi,\eta,\zeta)}{(x,y,z)}
                \right) dx dy dz 
      \\
        & = & 
          \int_{D'(\Dvect{x},t)} \DD{A}{t} dx dy dz
        + \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            A \left( 
                    \DP{v_x}{ x} + \DP{v_y}{ y} + \DP{v_z}{ z}
                 \right) dx dy dz 
      \\
        & = &
          \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            \left( 
              \DD{A}{t} + A \Ddiv{\Dvect{v}} 
            \right) dx dy dz
      \end{eqnarray*} 

    したがって$(6)$式は
    %
    \begin{equation}
         \DD{}{t} \int_{D'(\Dvect{x},t)} A (\Dvect{x},t)dV
      =  \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            \left( \DD{A}{t} + A \Ddiv{\Dvect{v}} \right) dV
       \Deqlab{輸送定理}
    \end{equation}
    %
    となる. 
    これをレイノルズの輸送定理 (Reynolds' transport theorem)という. 

    \Deqref{輸送定理}はさらに変形できて
    %
    \begin{eqnarray*}
         \DD{}{t} \int_{D'(\Dvect{x},t)} A (\Dvect{x},t)dV
     & = &  \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            \left( \DD{A}{t} + A \Ddiv{\Dvect{v}} \right) dV\\
     & = & \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            \left\{ \DP{A}{t} + \Ddiv{(A \Dvect{v})} \right\} dV\\
     & = & \int_{D'(\Dvect{x},t)} \DP{A}{t} dV
         + \oint_{\partial D'(\Dvect{x},t)} A \Dvect{v}\cdot\Dvect{n} dS
    \end{eqnarray*}
    %
    となる. これをライプニッツの法則(Libniz rule)という. 

    単位質量あたりの物理量 $s$ を考える場合には, $A=\rho s$ として
    質量保存則を用いることにより
    %
    \begin{eqnarray*}
         \DD{}{t} \int_{D'(\Dvect{x},t)} \rho s (\Dvect{x},t)dV
     & = &  \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            \left( \DD{(\rho s)}{t} + \rho s \Ddiv{\Dvect{v}} \right) dV\\
     & = &  \int_{D'(\Dvect{x},t)} 
            \left\{
                s \left( \DD{\rho}{t} + \rho \Ddiv{\Dvect{v}} \right) 
                + \rho \DD{s}{t}  \right\} dV\\
     & = &  \int_{D'(\Dvect{x},t)} \rho \DD{s}{t}  dV
    \end{eqnarray*}
    %
    とできる. 


%======================================================================
\newpage
\section{参考文献}

\begin{description}
  \item Batchelor,G.K., 橋本英典 他 訳 : 入門流体力学, 
        東京電機大学出版局, 614pp.

  \item Landau,L.D., Lifshitz,E.M., 竹内 均 訳, 1970 : 流体力学1, 
        東京図書, 280pp.

  \item 今井　功, 1973 : 流体力学(前編), 裳華房, 428pp.

  \item Glansdorff,P.,Prigogine,I., 松本 元 ,竹山 脇三 訳, 1977 : 
        構造・安定性・ゆらぎ. 
        みすず書房, 297pp.

  \item 中村 育雄, 1998 : 流体解析ハンドブック, 共立出版, 538pp. 
\end{description}
\vspace{2em}

%======================================================================
\newpage
\section{謝辞}

本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 
流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 
原作版は竹広真一による「流体力学の基礎方程式」 (1989-04-21) であり, 
保坂征宏による改定 (1990-04-23) を経て, 
林祥介/竹広真一によって「連続体力学: 基礎法則」として書き直された 
(1996-04-23). 
構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてに
感謝するものである. 

本ドキュメントは
\begin{quote}
  http://www.gfd-dennou.org/library/rironn/renzoku/housoku/pub/
\end{quote}
において, 無保証無責任を原則として公開している. 
原著作者ならびにその他の資源提供者(図等の版元等を含む)
の諸権利に抵触しない(不利益を与えない)限り, 
資源は自由に利用していただいて構わない. 
\copyright 林祥介・竹広真一 (Y.-Y. Hayashi and S. Takehiro) 1989. 



\end{document}

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% TeX-command-default: "pLaTeX"
% End: