%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 % % 履歴 1987/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 1997/08/15 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 1997/09/05 小高正嗣 % 1997/09/08 小高正嗣 % 2001/06/01 小高正嗣 dennou-sty-6 を使用, % エネルギー方程式の導出を追加 % 2002/11/17 高橋こう子 分割されていた小高ノートを一つのファイルに統合 % 2002/11/24 高橋こう子 脚注と式の有次元量に * がなかったのを修正, % 謝辞追加， % 節の順番変更： % 3. ブシネスク近似のための過程(1) % 4. スケーリング % ↓ % 3. スケーリング % 4. ブシネスク近似のための過程(1) % 2002/12/02 高橋こう子 著者の変更 % 2002/12/11 高橋こう子 内容修正 % 「1. はじめに」一部変更 % 速度 u --> v, 基準圧力 P --> p_{b}, % 有次元量を * なし, 無次元量を * ありに変更 % 2002/12/12 高橋こう子 内容修正 % 2002/12/12 林 祥介, 高橋こう子 内容修正 % 2002/12/15 高橋こう子 内容修正 % 2002/12/16 林 祥介, 高橋こう子 内容修正 % 2002/12/17 高橋こう子 内容修正 % 「まとめ」削除 % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \setlength{\textheight}{39\baselineskip} \setlength{\textwidth}{40zw} \usepackage{Dennou6} \usepackage{ascmac} \Dtitle[非弾性方程式とブシネスク方程式] {非弾性方程式とブシネスク方程式\\ --- 理想気体用 ---} \Dauthor[高橋こう子, 小高正嗣, 林祥介] {高橋こう子, 小高正嗣, 林祥介} \Ddate{2002 年 12 月 17 日} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \setlength{\parskip}{3mm} \pagebreak \begin{abstract} 理想気体用の非弾性方程式とブシネスク(Boussinesq)方程式の 導出について解説する. これらは, 鉛直方向に密度成層している系を記述するための代表的な 方程式系であり, 音波が除去されていることに特色がある. 系の平均的な鉛直密度勾配が大きい時に用いられる方程式が 非弾性方程式, 系の密度がほぼ一定とみなすことができる場合に用いられる方程式が ブシネスク方程式である. ここでは, 系は断熱, 非散逸であり, 流体は理想気体として扱うことができるものとする. また, 簡単のために系の回転も考えない. \end{abstract} %-------------------------------------------------------------------- \Dparskip %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 はじめに % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/15 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/04 小高正嗣 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{intro.tex} %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{はじめに} 密度成層を許した静止状態にある流体を考える. 流体力学の基礎方程式をこの静止状態のまわりで線形化し波動解を求 めると, 音波と重力波(あるいは対流)という二種類の波動(あるいは運動モード) が存在していることが理解される. しかるに, 気象現象や海洋現象の記述など地球流体力学の現場におい ては, 音波の存在が本質的ではない場合が少なくない. このような場合, 音波を除去し, 現象において本質的な 重力波あるいは対流運動のみを記述できる方程式を持っていると 便利である. 方程式において音波を除去しておくことは数値計算においても都合が よい. 波の鉛直波数が水平波数にくらべ十分大きい場合, すなわち, 鉛直波長が水平波長に比べて十分短い場合, 重力波の鉛直位相速度は音波の鉛直位相速度(ほぼ音速)に比べ非常に 小さくなる. 大気や海洋など地球表層の流体現象の記述においては, 水平方向に比べて鉛直方向への場の変化が大きく, したがって, 数値モデルの格子点間隔も水平方向に比べ鉛直方向が 圧倒的に細かいことが多い. このような状況下においては, 方程式から音波を除去しておけば, 系の時間積分において時間間隔を 大きくとることができ計算が省資源となる. 以下では大気を想定して, 理想流体用の非弾性方程式(あるいは非弾性 近似方程式)とブシネスク方程式(あるいはブシネスク近似方程式)を導 出する. 非弾性近似とは, 簡単に言えば, 連続の式における密度の時間微分項 $(\partial \rho/\partial t)$ を無視することによって, 解に音波を含まないようにした近似である. ブシネスク近似とは, 簡単に言えば, 連続の式を非圧縮としてしまうことにより 解に音波を含まないようにした近似である. ただし, 熱力学から与えられる密度の変化は 運動方程式の浮力項に残しておくことが特色であり, これにより重力波あるいは対流運動の表現が可能となっている. 最後に, 非弾性方程式系のエネルギー方程式を導出する. %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 基礎方程式 % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/15 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/05 小高正嗣 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{equ.tex} %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{基礎方程式} \subsection{元となる方程式系} 基礎方程式は運動方程式, 連続の式, 熱力学の式である. 非粘性, 断熱の下ではそれぞれ以下のように表される. \begin{eqnarray} \Deqlab{運動} \DD{\Dvect{v}}{t} &=& -\Dinv{\rho}\Dgrad p - \Dgrad \Phi , \\ \Deqlab{連続} \Dinv{\rho} \DD{\rho}{t} &=& -\Dgrad \cdot \Dvect{v} , \\ \Deqlab{熱} \DD{\theta}{t} &=& 0 . \end{eqnarray} $\Dvect{v}, p, \rho, \Phi$ は, それぞれ, 速度, 圧力, 密度, ポテンシャルである. 熱力学量は理想気体の状態方程式 \begin{equation} p = \rho RT \end{equation} に従うものとする. $R$ は質量あたりの気体定数である. $\theta$ は温位であり, \begin{equation} \Deqlab{温位} \theta = T \left(\frac{p}{p_{b}}\right)^{-\kappa }; \; \kappa = \frac{R}{c_{p}}, \end{equation} で定義される. $c_{p}$ は質量あたりの定圧比熱である. また, $p_{b}$ は適宜定められるべき基準圧力(定数)である. \pagebreak \subsection{エクスナー関数による表現} ここで, 記述の簡便さのために, エクスナー (Exner) 関数とよばれる無次元量 \begin{equation} \Pi \equiv \left(\frac{p}{p_{b}}\right)^{\kappa } \end{equation} を導入する. 熱力学量をエクスナー関数 $\Pi$ と温位 $\theta$ とで表現すると \begin{eqnarray} p = p_{b} \Pi^{1/\kappa} , \ \ T = \theta \Pi , \ \ \rho = \frac{p_{b}}{R} \frac{\Pi^{1/\kappa\ -1}}{\theta} \Deqlab{熱力学量} \end{eqnarray} となる. したがって, 運動方程式 \Deqref{運動} 右辺の圧力傾度項は, \begin{eqnarray*} \frac{\Dgrad p}{\rho} &=& \Dinv{\rho}\frac{p}{\kappa} \frac{\Dgrad{\Pi}}{\Pi} \\ &=& c_{p}\theta \, \Dgrad \Pi . \end{eqnarray*} 連続の式\Deqref{連続}は \begin{eqnarray*} \DD{}{t}\left[ \ln \theta + \left( 1 - \Dinv{\kappa} \right) \ln \Pi \right] &=& \Dgrad \cdot \Dvect{v} \end{eqnarray*} であるが, 熱の式 \Deqref{熱}, すなわち, 断熱であることを用いると \begin{eqnarray*} \left( 1 - \Dinv{\kappa} \right) \DD{}{t} \ln \Pi &=& \Dgrad \cdot \Dvect{v} \end{eqnarray*} となる. 以上をまとめると基礎方程式は \begin{eqnarray} \Deqlab{運動2} \DD{\Dvect{v}}{t} &=& -c_{p}\theta \Dgrad \Pi - \Dgrad \Phi , \\ \Deqlab{連続2} \left(1-\Dinv{\kappa }\right)\DD{}{t}\ln \Pi &=& \Dgrad \cdot \Dvect{v}, \\ \Deqlab{熱2} \DD{\theta}{t} &=& 0 \end{eqnarray} となる. \pagebreak \subsection{静止状態の分離} 全ての変数を静止状態とそこからのずれとに分割し, 変数 $A$ を \begin{eqnarray*} A = A_{s} + A' \end{eqnarray*} と表現することにする. $A_{s}$ は静止状態, $A'$ はそこからのずれである. 静止状態では $\Dvect{v}_{s}=0$ なので, 運動方程式\Deqref{運動2}において静力学平衡の式, \begin{eqnarray} 0 &=& - c_{p} \theta_{s} \Dgrad \Pi_{s} - \Dgrad \Phi , \Deqlab{静力学平衡} \end{eqnarray} が得られる \footnote{ もとの運動方程式\Deqref{運動}に帰れば \begin{eqnarray*} 0 &=& -\Dinv{\rho_{s}}\Dgrad p_{s} - \Dgrad \Phi \end{eqnarray*} }. したがって\Deqref{運動2}式右辺は次のように書き換えることが できる. \begin{eqnarray*} \DD{\Dvect{v}}{t} & = & - c_{p} \theta \Dgrad \Pi' + \frac{\theta'}{\theta_{s}} \Dgrad \Phi . \end{eqnarray*} ただし, $\Dvect{v}' = \Dvect{v}$ であるので「'」を省いた. 連続の式\Deqref{連続2}, 熱力学の式\Deqref{熱2}も同様にして 静止状態を分離する. まとめると, \begin{eqnarray} \Deqlab{運動3} \DD{\Dvect{v}}{t} &=& -c_{p}\theta \Dgrad \Pi' + \frac{\theta'}{\theta_{s}}\Dgrad \Phi , \\ \Deqlab{連続3} \left(1-\Dinv{\kappa }\right)\DD{}{t}\ln \Pi &=& \Dgrad \cdot \Dvect{v} , \\ \Deqlab{熱3} \DD{\theta'}{t} &=& -\Dvect{v} \cdot \Dgrad \theta_{s} \end{eqnarray} となる. \pagebreak \subsection{ポテンシャル力が一様な場合} ポテンシャル力が考察する範囲で一様とみなせる場合について考える. 直線直交座標を導入し, $z$ 軸を $\Dgrad \Phi $ 向きにとる. \begin{eqnarray*} \Dgrad \Phi = g\Dvect{k} \end{eqnarray*} と表現される. ここで, $g$ は定数, $\Dvect{k}$ は $z$ 方向の単位ベクトルである. このとき静力学平衡の式\Deqref{静力学平衡}は, \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{静力学平衡2} 0 = -c_{p} \theta_{s} \, \Dgrad \Pi_{s} - g \Dvect{k} , \end{eqnarray} \end{screen} あるいは, \begin{eqnarray} \Deqlab{静力学平衡H} \Dgrad_{H}\Pi_{s} &=& 0, \\ \Deqlab{静力学平衡V} c_{p}\theta_{s} \DP{\Pi_{s}}{z} &=& -g \end{eqnarray} となる. ただし, \begin{eqnarray*} \Dgrad_{H} = \left( \DP{}{x}, \DP{}{y}, 0 \right) \end{eqnarray*} である. \Deqref{静力学平衡H} から $\Pi_{s}, \theta_{s}$ は $z$ のみの関数であることが わかる. \pagebreak 静止状態からのずれの部分に対する基礎方程式は \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{運動s2} \DD{\Dvect{v}}{t} &=& -c_{p}\theta \, \Dgrad \Pi' + \frac{\theta'}{\theta_{s}}g\Dvect{k}, \\ \Deqlab{連続s2} \left(1-\Dinv{\kappa }\right)\DD{}{t}\ln \Pi &=& \Dgrad \cdot \Dvect{v}, \\ \Deqlab{熱s2} \DD{\theta'}{t} &=& -\frac{N^{2}_{s} \theta_{s}}{g} w \end{eqnarray} \end{screen} となる. 熱力学の式\Deqref{熱3}は浮力振動数 (Brant-V\"{a}is\"{a}l\"{a} 振動数) \begin{eqnarray} \Deqlab{Brant-Vaisala} N^{2}_{s} \equiv \Dgrad \Phi \cdot \Dgrad \ln \theta_{s} &=& \frac{g}{\theta_{s}}\DP{\theta_{s}}{z} , \end{eqnarray} を用いて書き直した. %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 スケーリング % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/15 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/05 小高正嗣 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{scale.tex} %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{スケーリング} それぞれの物理量に対するスケールを以下のように定義する: \begin{quote} \begin{tabular}{ll} 時間変化スケール & $\tau$ \\ 水平方向の空間変化スケール & $L$ \\ 鉛直方向の空間変化スケール & $D$ \\ 速度の水平成分のスケール & $U$ \\ 速度の鉛直成分のスケール & $W$ \\ 温位のスケール & $\Theta \equiv \theta_{s}(z=0)$ \\ 温位の静止場からのずれのスケール & $\Delta \Theta$ \end{tabular} \end{quote} ただし, $\Delta \Theta$ は静止状態の温位の最大値と最小値の差で ある. 温位のスケールは地表での値 $\theta_{s}(z=0)$ で代表できるものとした. また, 断熱系($d\theta/dt=0$)を考えているので $|\theta'|$ の上限は $\Delta \Theta $ で抑えられる. このようなスケールの下で\Deqref{静力学平衡V} $\sim$ \Deqref{熱s2}式をそれぞれ無次元化する. 無次元量には $*$ をつけて表現することにすると, \begin{eqnarray} 0 &=& - \frac{c_{p} \Theta}{D} \theta_{s}^{*} \DP{\Pi_{s}}{z^{*}} - g , \\ \frac{U}{\tau} \DD{\Dvect{v_{H}^{*}}}{t^*} &=& - \frac{c_{p} \Theta}{L} \theta^{*} \Dgrad_{H}^{*} \Pi' , \\ \frac{W}{\tau} \DD{w^{*}}{t^*} &=& - \frac{c_{p} \Theta}{D} \theta^{*} \DP{\Pi'}{z^{*}} + \frac{\Delta \Theta}{\Theta} \frac{\theta'^{*}}{\theta_{s}^{*}} g , \\ \left(1 -\Dinv{\kappa }\right) \Dinv{\tau} \DD{}{t^*} \ln \Pi &=& \frac{U}{L}\Dgrad^{*}_{H}\cdot \Dvect{v^{*}_{H}} + \frac{W}{D}\DP{w^{*}}{z^{*}} , \\ \frac{\Delta \Theta}{\tau} \DD{\theta'^{*}}{t^*} &=& - \frac{N^{2}_{s} \Theta W}{g} \theta_{s}^{*} w^{*} . \end{eqnarray} ただし \begin{eqnarray*} \DD{}{t^{*}} &=& \DP{}{t^{*}} + \frac{U}{L/\tau }\Dvect{v^{*}_{H}} \cdot \Dgrad^{*}_{H} + \frac{W}{D/\tau }w^{*} \DP{}{z^{*}} , \\ \Dvect{v^{*}_{H}} &=& (u^{*}, v^{*}, 0), \\ \Dgrad^{*}_{H} &=& \left( \DP{}{x^{*}}, \DP{}{y^{*}}, 0 \right) \end{eqnarray*} である. \pagebreak まとめると, 静止状態の基礎方程式は \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{静力学平衡H2} 0 &=& \Dgrad_{H}^{*} \Pi_{s}, \\ \Deqlab{静力学平衡V2} 0 &=& - \theta_{s}^{*} \DP{\Pi_{s}}{z^{*}} - \alpha_{2}, \end{eqnarray} \end{screen} 静止状態からのずれの部分に対する基礎方程式は \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{運動H4} \alpha_{3}\alpha_{4} \DD{\Dvect{v_{H}}^{*}}{t^{*}} &=& - \theta^{*} \Dgrad_{H}^{*}\Pi' , \\ \Deqlab{運動V4} \delta \alpha_{3}\alpha_{5}\DD{w^{*}}{t^{*}} &=& - \theta^{*} \DP{\Pi'}{z^{*}} + \alpha_{1} \alpha_{2} \frac{\theta'^{*}}{\theta_{s}^{*}} , \\ \Deqlab{連続4} \left(1-\Dinv{\kappa}\right)\DD{}{t^{*}}\ln \Pi &=& \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Dgrad_{H}^{*}\cdot \Dvect{v_{H}}^{*} + \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \DP{w^{*}}{z^{*}} , \\ \Deqlab{熱4} \alpha_{1} \DD{\theta'^{*}}{t^{*}} &=& - \frac{N^{2}_{s} D}{g} \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \theta_{s}^{*} w^{*} , \end{eqnarray} \end{screen} である. ただし, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ は \begin{eqnarray} \Deqlab{alpha} \alpha_{1} \equiv \frac{\Delta \Theta}{\Theta} , \ \ \ \alpha_{2} \equiv \frac{gD}{c_{p}\Theta } , \ \ \ \alpha_{3}^{2} \equiv \frac{(L/\tau )^{2}}{c_{p}\Theta } , \ \ \ \alpha_{4}^{2} \equiv \frac{U^{2}}{c_{p}\Theta } , \ \ \ \alpha_{5}^{2} \equiv \frac{W^{2}}{c_{p}\Theta } , \end{eqnarray} また, \begin{eqnarray} \Deqlab{移流} \DD{}{t^{*}} &=& \DP{}{t^{*}} + \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Dvect{v^{*}_{H}}\cdot \Dgrad^{*}_{H} + \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} w^{*} \DP{}{z^{*}} , \\ \delta &\equiv& \frac{D}{L} \end{eqnarray} である. $\delta $ はアスペクト比(aspect ratio)と呼ばれる. 以下の節では簡単のため上付き添字 $*$ を省略して議論する. %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 非弾性方程式系 % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/16 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/10/08 高橋こう子 ファイル名変更 % anelastic.tex --> expand.tex % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{anelastic.tex} %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{非弾性方程式} %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 第一の仮定 % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/15 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/05 小高正嗣 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{katei-1.tex} %-------------------------------------------------------------------- \subsection{非弾性近似のための仮定 (1)} 非弾性近似のための重要な仮定は \begin{screen} 着目している大気層において, その温位はあまり大きくは変わらない, すなわち, \begin{equation} \alpha_{1} = \frac{\Delta \Theta }{\Theta } \ll 1 , \Deqlab{仮定1} \end{equation} \end{screen} である. この仮定は, 考えている鉛直スケール $D$ が $\theta_{s}$ の変化の スケールに比べて小さい, という具合に言い替えてもよい. 次元を持った量で表現すれば, \begin{eqnarray*} D \left| \DP{\theta_{s}}{z} \right| &\sim& \Delta \Theta , \\ \theta_{s} &\sim& \Theta \end{eqnarray*} であるので \begin{eqnarray} D / \frac{\theta_{s}}{| \DP{\theta_{s}}{z}|} \sim \alpha_{1} \ll 1 . \end{eqnarray} ということである. 無次元量で表現すれば \begin{eqnarray} 1 / \frac{\theta_{s}}{| \DP{\theta_{s}}{z}|} \sim \alpha_{1} \ll 1 . \end{eqnarray} となる. 浮力振動数\Deqref{Brant-Vaisala}を用いて表現すれば \begin{eqnarray} \Deqlab{alpha-N} \frac{N_{s}^{2}D}{g} \sim \alpha_{1} \ll 1 , \end{eqnarray} となる. $g/N_{s}^{2}$ を成層スケールという. %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 第二の仮定 % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/16 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/05 小高正嗣 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{katei-2.tex} %-------------------------------------------------------------------- \pagebreak \subsection{非弾性近似のための仮定 (2)} 熱力学の式\Deqref{熱4}において, 時間微分を \Deqref{移流} にしたがって展開し, 各項の大きさを比較する. $\alpha_{3} < \alpha_{4}$ である場合, すなわち, 時間微分に比べて水平移流行が大きい場合には, 左辺第二項と左辺第三項または右辺がつりあわなければならない (水平移流と鉛直移流とがつりあわなければならない)ので \begin{eqnarray*} \alpha_{5} \sim \alpha_{4} \delta \end{eqnarray*} でなければならないことがわかる. $\alpha_{3} >\alpha_{4}$ である場合, すなわち, 時間微分に比べて水平移流行が小さい場合には, 左辺第三項または右辺は $O(1)$ でなければならない (時間微分と鉛直移流とがつりあわなければならない)ので, \Deqref{alpha-N} を用いれば, \begin{eqnarray*} \alpha_{5} \sim \alpha_{3} \delta \end{eqnarray*} でなければならないことがわかる. $\alpha_{3} \sim \alpha_{4}$ である場合, すなわち, 時間微分と水平移流行とがおなじ大きさである場合には, 左辺第三項または右辺は, 高々, 左辺第一, 二項と同程度であれば 良い. 以上あわせて表現すると \begin{eqnarray} \alpha_{5} \stackrel{<}{\sim} \mbox{max} \left(\alpha_{3}, \; \alpha_{4}\right) \times \delta , \end{eqnarray} という関係が成り立っていなければならないことがわかる\footnotemark. \footnotetext{ 厳密に言うと, 熱力学の式\Deqref{熱4}の 左辺第三項と右辺のみがつりあう, という場合, すな わち, 静止場の鉛直移流と, 静止場からのずれの鉛直移流との つりあい, という選択が排除されるという仮定をしている. } \pagebreak このことを念頭において, $\alpha_{3}$, $\alpha_{4}$, $\alpha_{5}$ をおなじ大きさの量とし て扱うことにし, $\alpha_{1}$ との間に次のような仮定を置く. \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{alpha_3} \alpha_{3}^{2} &=& \frac{(L/\tau )^{2}}{c_{p}\Theta } \sim \alpha_{1} , \\ \Deqlab{alpha_4} \alpha_{4}^{2} &=& \frac{U^{2}}{c_{p}\Theta } \sim \alpha_{1} , \\ \Deqlab{alpha_5} \alpha_{5}^{2} &=& \frac{W^{2}}{c_{p}\Theta } \sim \alpha_{1} . \end{eqnarray} \end{screen} また, \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{delta} \delta &\stackrel{<}{\sim}& 1 . \end{eqnarray} \end{screen} であるものとする. なお, $\alpha_{2}$ に関しては, 本節においては, \begin{screen} \begin{eqnarray} \alpha_{2} = \frac{gD}{c_{p}\Theta } \stackrel{<}{\sim} 1 \end{eqnarray} \end{screen} であるものと仮定する. 書き換えると \begin{eqnarray} \alpha_{2} = \frac{D}{H}, \ \ \ H \equiv \frac{c_{p}\Theta }{g}, \end{eqnarray} $H$ は等温位大気の高さ \footnote{地上気温を $\Theta $ とし断熱温度減率 $g/c_{p}$ とすると, この高度で温度が 0 となる.} である. 考える大気層の厚さとしては, おおむね大気の厚さを念頭に置いていることになっている. \pagebreak 上記仮定 \Deqref{alpha_3} $\sim$ \Deqref{delta} は, 音速を用いて次のようにも表現できる. 理想気体の音速は $c_{s}^{2} = \gamma RT$ であるので, 着目している大気層においておおむね \begin{eqnarray*} c_{s}^{2} &\sim& c_{p} \Theta \end{eqnarray*} か成り立つとすれば, \Deqref{alpha_3} $\sim$ \Deqref{delta} は, 系に特徴的な時空間変化で定められる速度(波動的な解なら位相速度), ならびに, 流速が音速に比べ非常に小さい, と主張していることになる. すなわち, \begin{eqnarray*} \left( \frac{L}{\tau} \right)^{2} \ll {c_{s}^{2}} , \ \ \ U^{2} \ll {c_{s}^{2}} , \ \ \ W^{2} \ll c_{s}^{2} . \end{eqnarray*} \newpage \subsection{$\alpha_{1}$ 展開} 仮定\Deqref{仮定1}の下で, 変数を微小パラメータ $\alpha_{1}$ で展開する. \begin{eqnarray} \Deqlab{展開V_H} \Dvect{v_{H}} &=& \Dvect{v_{H}}_{0} + \alpha_{1}\Dvect{v_{H}}_{1} + \alpha_{1}^{2}\Dvect{v_{H}}_{2} + \cdots , \\ w &=& w_{0} + \alpha_{1}w_{1} + \alpha_{1}^{2}w_{2} + \cdots , \\ \Pi &=& \Pi_{s} + \Pi' \nonumber \\ &=& \Pi_{s0} + \alpha_{1} \Pi_{s1} + \alpha_{1}^{2} \Pi_{s2} + \cdots \nonumber \\ & & + \Pi'_{0} + \alpha_{1} \Pi'_{1} + \alpha_{1}^{2} \Pi'_{2} + \cdots , \\ \Deqlab{展開theta} \theta &=& \theta_{s} + \alpha_{1}\theta' \nonumber \\ &=& 1 + \alpha_{1} \theta_{s1} + \alpha_{1}^{2} \theta_{s2} + \cdots \nonumber \\ & & ~~ + \alpha_{1} \theta'_{1} + \alpha_{1}^{2} \theta'_{2} + \cdots . \end{eqnarray} 仮定\Deqref{仮定1} の元で展開しているので, $\theta$ の主要項は定数 1 であることに注意. 静止大気の $\alpha_{1}$ の 0 次の表現は等温位大気である. 以下, 以上の表現を方程式 \Deqref{静力学平衡H2} $\sim$ \Deqref{熱4} に代入し, $\alpha_{1}$ の次数で整理していくことにする. \newpage \subsection{$\alpha_{1}$ に関する 0 次の式} 静力学平衡の式\Deqref{静力学平衡V2} は次のようになる. \begin{eqnarray*} (1 + \alpha_{1}\theta_{s1} + \cdots) \DP{}{z} \left(\Pi_{s0} + \alpha_{1}\Pi_{s1} + \cdots\right) = - \alpha_{2} . \end{eqnarray*} $O(\alpha_{1}^{0})$ の項を取り出すと, \begin{eqnarray*} \DP{\Pi_{s0}}{z} &=& - \alpha_{2} , \end{eqnarray*} すなわち, \begin{eqnarray} \Deqlab{静力学平衡a0} \Pi_{s0} &=& 1 - \alpha_{2}z . \end{eqnarray} 静止大気の $\alpha_{1}^{0}$ での表現は等温位大気であるので, 有限高さ $z = 1/\alpha_{2}$ で終る. \Deqref{運動H4} $\sim $ \Deqref{熱4}式から $O(\alpha_{1}^{0})$ の項を取り出して, $\Pi'_{0}$ を決める. 運動方程式 \Deqref{運動H4}, \Deqref{運動V4} の変数を $\alpha_{1}$ で 展開すると, \begin{eqnarray} \Deqlab{運動H展開} \alpha_{3}\alpha_{4} \DD{}{t} \bigl(\Dvect{v_{H}}_{0} &+& \alpha_{1} \Dvect{v_{H}}_{1} + \cdots \bigr) \nonumber \\ &=& - \left( 1 + \alpha_{1}\theta_{s1} + \cdots + \alpha_{1}\theta'_{1} + \alpha_{1}^{2}\theta'_{2} + \cdots \right) \Dgrad_{H} \left(\Pi'_{0} + \alpha_{1} \Pi'_{1} + \cdots\right) , \\ \Deqlab{運動V展開} \delta \alpha_{3}\alpha_{5} \DD{}{t} \bigl(w_{0} &+& \alpha_{1} w_{1} + \cdots\bigr) \nonumber \\ &=& - \left( 1 + \alpha_{1}\theta_{s1} + \cdots + \alpha_{1}\theta'_{1} + \alpha_{1}^{2}\theta'_{2} + \cdots \right) \DP{}{z} \left(\Pi'_{0} + \alpha_{1} \Pi'_{1} + \cdots\right) \nonumber \\ & & + \alpha_{1} \alpha_{2} \frac{\left(\theta'_{1} + \alpha_{1} \theta'_{2} + \cdots\right)} {\left(1 + \alpha_{1}\theta_{s1} + \cdots\right)} . \end{eqnarray} ただし \begin{eqnarray*} \DD{}{t} = \DP{}{t} + \left(\Dvect{v_{H}}_{0} + \alpha_{1}\Dvect{v_{H}}_{1} + \cdots\right) \cdot \Dgrad_{H} + \left(w_{0} + \alpha_{1} w_{1} + \cdots\right) \DP{}{z} \end{eqnarray*} である. したがって, 0 次の項は, \begin{eqnarray*} 0 &=& - \Dgrad_{H}\Pi'_{0} , \\ 0 &=& - \DP{}{z}\Pi'_{0} \end{eqnarray*} となる \footnote{ \Deqref{運動H4}の左辺は, \begin{eqnarray*} \alpha_{3} \alpha_{4} \DD{}{t} \Dvect{v_{H}} &=& O(\alpha_{3}\alpha_{4}, \alpha_{4}^{2}, \alpha_{4}\alpha_{5}/\delta ) \\ &\leq& O(\alpha_{3}\alpha_{4}, \alpha_{4}^{2}, \mbox{max}(\alpha_{3}, \alpha_{4})\alpha_{4}) \\ &\ll& 1. \end{eqnarray*} }. これより $\Pi'_{0}$ は場所によらないことがわかる. 連続の式\Deqref{連続4}は次のように変形してから展開する\footnotemark. \footnotetext{ もともと, 断熱条件を使ってしまっているので, $\Pi^{1/\kappa -1}$ は「密度」である. 次元量で書くと, 連続の式\Deqref{連続4}は \begin{eqnarray*} \DD{}{t} \Pi^{1/\kappa -1} + \Pi^{1/\kappa -1} \Ddiv \Dvect{v} = 0 \end{eqnarray*} すなわち \begin{eqnarray*} \DP{}{t} \Pi^{1/\kappa -1} + \Ddiv \left( \Pi^{1/\kappa -1} \Dvect{v} \right) = 0 \end{eqnarray*} } \Deqref{連続4}式の左辺は \begin{eqnarray*} \left(1 - \Dinv{\kappa}\right) \DD{}{t} \ln \Pi &=& - \Dinv{\Pi^{1/\kappa \ - 1}} \DD{\Pi^{1/\kappa \ - 1}}{t} \\ &=& - \Dinv{\Pi^{1/\kappa \ - 1}} \left(\DP{}{t} + \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Dvect{v_{H}} \cdot \Dgrad_{H} + \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} w \DP{}{z}\right) \Pi^{1/\kappa \ - 1} . \end{eqnarray*} したがって\Deqref{連続4}式の両辺に $\Pi^{1/\kappa \ - 1}$ をか けると, \begin{eqnarray*} \DP{}{t} \Pi^{1/\kappa -1} = - \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Ddiv (\Pi^{1/\kappa -1} \Dvect{v_{H}}) - \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \DP{}{z} (\Pi^{1/\kappa -1}w) . \end{eqnarray*} 変数を $\alpha_{1}$ で展開すると, \begin{eqnarray*} \DP{}{t} (\Pi_{s0} &+& \alpha_{1} \Pi_{s1} + \cdots + \Pi'_{0} + \alpha_{1} \Pi'_{1} + \cdots)^{1/\kappa -1} \\ &=& - \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Ddiv \left\{\left(\Pi_{s0} + \alpha_{1} \Pi_{s1} + \cdots + \Pi'_{0} + \alpha_{1} \Pi'_{1} + \cdots \right)^{1/\kappa -1} \left(\Dvect{v_{H}}_{0} + \alpha_{1}\Dvect{v_{H}}_{1} + \cdots \right) \right\} \\ & & - \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \DP{}{z} \left\{\left(\Pi_{s0} + \alpha_{1} \Pi_{s1} + \cdots + \Pi'_{0} + \alpha_{1} \Pi'_{1} + \cdots \right)^{1/\kappa -1} \left(w_{0} + \alpha_{1}w_{1} + \cdots \right) \right\} . \end{eqnarray*} よって $O(\alpha_{1}^{0})$ の項は, \begin{eqnarray} \Deqlab{連続a0} \DP{}{t}(\Pi_{s0} + \Pi'_{0})^{1/\kappa -1} &=& - \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Dgrad_{H} \cdot \{(\Pi_{s0} + \Pi'_{0})^{1/\kappa -1}) \Dvect{v}_{H0}\} \nonumber \\ & & ~~~~ - \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \DP{}{z} \{(\Pi_{s0}+\Pi'_{0})^{1/\kappa -1})w_{0}\} \end{eqnarray} となる. ここで, \Deqref{連続a0}式を全領域で積分する. \Deqref{連続a0}式右辺の水平移流項は適当な境界条件(例えば周期境界)を 与えることで消去される. 鉛直移流項は十分上方で $w_{0} = 0$ を仮定すればやはり消去する ことができる. したがって, \begin{eqnarray*} 0 &=& \int \DP{}{t} (\Pi_{s0}+\Pi'_{0})^{1/\kappa -1} \Dd V \\ &=& \int (1/\kappa -1) (\Pi_{s0}+\Pi'_{0})^{1/\kappa -2} \DP{}{t} (\Pi_{s0}+\Pi'_{0}) \Dd V \\ &=& \int (1/\kappa -1) (\Pi_{s0}+\Pi'_{0})^{1/\kappa -2} \DP{}{t} \Pi'_{0} \Dd V . \end{eqnarray*} よって, \begin{eqnarray*} \DP{}{t}\Pi'_{0} =0 . \end{eqnarray*} これから $\Pi'_{0}$ は定数であることがわかる. $\Pi $ のうち時間によらない成分を $\Pi_{s}$ としたので, 一般性を失うこと無く \begin{eqnarray} \Deqlab{エクスナ0} \Pi'_{0} = 0 \end{eqnarray} とすることができる. \Deqref{エクスナ0}式は非弾性近似を得るための最も重要な関係式で ある. 結局, $O(\alpha_{1}^{0})$ の連続の式は\Deqref{連続a0}より, \begin{equation} \Deqlab{連続a0-1} \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Dgrad_{H} \cdot (\Pi_{s0}^{1/\kappa -1}\Dvect{v}_{H0}) + \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \DP{}{z} (\Pi_{s0}^{1/\kappa -1}w_{0}) = 0 \end{equation} となる. 連続の式\Deqref{連続a0-1}を密度で表す. 有次元量の密度 $\rho$ については \begin{eqnarray} \rho &=& \rho_{s}(1 + \rho') \nonumber \\ &=& (\rho_{s0} + \alpha_{1}\rho_{s1} + \cdots) (1 + \rho'_{0} + \alpha_{1} \rho'_{1} + \cdots ) , \end{eqnarray} とおく. ただし $\rho_{s0}, \rho_{s1}, \cdots$ も有次元量である. これを状態方程式\Deqref{熱力学量} に代入し, $O(\alpha_{1}^{0})$ の項を集めると \begin{eqnarray} \rho_{s0}(1 + \rho'_{0}) = \frac{p_{b}}{R \Theta } \Pi_{s0}^{1/\kappa - 1} . \end{eqnarray} これと静止状態に対する密度の表現 \begin{eqnarray*} \rho_{s0} &=& \frac{p_{b}}{R \Theta } \Pi_{s0}^{1/\kappa \ - 1} \end{eqnarray*} とを差し引けば \begin{eqnarray*} \rho'_{0} &=& 0 . \end{eqnarray*} となる. したがって$O(\alpha_{1}^{0})$の密度 $\rho_{0}$ は \begin{eqnarray} \rho_{0} &=& \rho_{s0} \nonumber \\ &=& \frac{p_{b}}{R \Theta } \Pi_{s0}^{1/\kappa \ - 1} \nonumber \\ \Deqlab{密度0} &=& \frac{p_{b}}{R \Theta } (1 - \alpha_{2}z)^{1/\kappa \ - 1} \end{eqnarray} である. よって, 連続の式は\Deqref{連続a0-1}式の代わりに \begin{eqnarray} \Deqlab{連続a0-2} \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} \Dgrad_{H} \cdot (\rho_{s0} \Dvect{v}_{H0}) + \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \DP{}{z}(\rho_{s0}w_{0}) = 0 \end{eqnarray} と書くことができる. \pagebreak \subsection{$\alpha_{1}$ に関する 1 次の式} 変数を $\alpha_{1}$ で展開した運動方程式 \Deqref{運動H展開}, \Deqref{運動V展開} から $O (\alpha_{1}^{1})$ の項を取り出すと, \begin{eqnarray} \Deqlab{運動Ha0-2} \alpha_{3} \alpha_{4} \DD{\Dvect{v_{H0}}}{t} &=& - \alpha_{1} \Dgrad \Pi_{1}' , \\ \Deqlab{運動Va0-2} \delta \alpha_{3} \alpha_{5} \DD{w_{0}}{t} &=& - \alpha_{1} \Dgrad \Pi_{1}' + \alpha_{1} \alpha_{2} \theta_{1}' \end{eqnarray} となる. ただし \begin{eqnarray} \Deqlab{微分} \DD{}{t} = \DP{}{t} + \Dvect{v_{H0}} \cdot \Dgrad_{H} + w_{{0}} \DP{}{z} \end{eqnarray} である. 熱力学の式 \Deqref{熱4} の変数を $\alpha_{1}$ で展開すると, \begin{eqnarray*} \alpha_{1} \DD{}{t} \left(\theta_{1}' + \alpha_{1}^{2} \theta_{2}' + \cdots\right) &=& - \frac{N_{s}^{2} D}{g} \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} \left(w_{0} + \alpha_{1} w_{1} + \cdots\right) . \end{eqnarray*} \Deqref{alpha-N} 式に注意して, $O (\alpha_{1}^{1})$ の項を取り出すと, \begin{eqnarray} \Deqlab{熱a0-2} \DD{\theta_{1}'}{t} &=& - \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} w_{0} \end{eqnarray} となる. ただし $d/dt$ は \Deqref{微分} 式と同じである. \newpage \subsection{非弾性方程式} 仮定 \Deqref{alpha_3}, \Deqref{alpha_4}, \Deqref{alpha_5} を 書き換えると, \begin{eqnarray} \Deqlab{仮定2-2} (L/\tau )^{2} \sim U^{2} \sim W^{2} \sim c_{p} \Theta \alpha_{1} , \end{eqnarray} % あるいは $\alpha_{2} \sim 1$ として $\Theta \sim gD/c_{p}$ , % 浮力振動数で表した $\alpha_{1}$ の式 \Deqref{alpha-N} とから % \begin{equation} % (L/\tau )^{2} \sim U^{2} % \sim W^{2} % \sim N_{s}^{2}D^{2} % \end{equation} となる \footnote{ このとき \begin{eqnarray*} \alpha_{3} \alpha_{4} &=& \frac{(L/\tau) \, U}{c_{p} \Theta} \\ &\sim& \alpha_{1} , \\ \delta \alpha_{3} \alpha_{5} &=& \frac{(D/\tau) \, U}{c_{p} \Theta} \\ &\sim& \alpha_{1} , \\ \frac{\alpha_{4}}{\alpha_{3}} &=& \frac{U}{L/\tau} \\ &\sim& 1 , \\ \frac{\alpha_{5}}{\delta \alpha_{3}} &=& \frac{U}{D/\tau} \\ &\sim& 1 \end{eqnarray*} である.}. よって, \Deqref{連続a0-2} $\sim$ \Deqref{運動Va0-2}, \Deqref{熱a0-2} 式から, 理想気体に対する非弾性方程式を得る: %, または準ブシネスク (Boussinesq) 方程式 \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{無次元非弾性-運動H} \DD{\Dvect{v}_{H0}}{t} &=& - \Dgrad_{H} \Pi'_{1} , \\ \Deqlab{無次元非弾性-運動V} \DD{w_{0}}{t} &=& - \DP{\Pi'_{1}}{z} + \alpha_{2} \theta'_{1} , \\ \Deqlab{無次元非弾性-連続} \Ddiv (\rho_{s0} \Dvect{v}_{0}) &=& 0 , \\ \Deqlab{無次元非弾性-熱} \DD{\theta'_{1}}{t} &=& - w_{0} . \end{eqnarray} \end{screen} ただし \begin{eqnarray*} \DD{}{t} &=& \DP{}{t} + \Dvect{v}_{0}\cdot \Dgrad , \\ \Dvect{v_{0}} &=& \left(u_{0}, v_{0}, w_{0}\right) , \\ \rho_{s0} &=& \frac{p_{b}}{R\Theta } (1 - \alpha_{2}z)^{1/\kappa -1} \end{eqnarray*} である. \pagebreak 次元を戻すと, \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{非弾性-運動} \DD{\Dvect{v}}{t} &=& - c_{p}\Theta \Dgrad \Pi' + \frac{\theta'}{\Theta } g \Dvect{k} , \\ \Deqlab{非弾性-連続} \Dgrad\cdot (\rho_{s0} \Dvect{v}) &=& 0 , \\ \Deqlab{非弾性-熱} \DD{\theta'}{t} &=& - \frac{N_{s}^{2} \Theta }{g} w , \end{eqnarray} \end{screen} となる. もし\Deqref{仮定2-2}式中の $\sim $ が成り立たないときには, 得られた非弾性方程式の中でどの項が生き残るかという問題になる. %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 ブシネスク方程式系 % % 履歴 87/04/17 佐藤正樹 Mゼミ佐藤ノート ブシネスク近似 % 97/08/16 小高正嗣 佐藤ノートより転載 % 97/09/08 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{bsnsq.tex} %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{ブシネスク方程式系} \subsection{ブシネスク近似のための仮定} 非弾性方程式に対して, さらに次のような仮定が成り立つとすると いわゆるブシネスク(Boussinesq)方程式が得られる: \begin{screen} 運動は浅い, すなわち考えている鉛直スケールが等温位大気の 高さに比べ小さい ($D \ll H \equiv c_{p}\Theta/g$). \begin{equation} \Deqlab{仮定3} \alpha_{2} \equiv \frac{gD}{c_{p}\Theta } \ll 1. \end{equation} \end{screen} \newpage \subsection{$\alpha_{2}$ 展開} 仮定 \Deqref{仮定3} の下で, 非弾性方程式 \Deqref{無次元非弾性-運動H} $\sim$ \Deqref{無次元非弾性-熱} の変数を $\alpha_{2}$ で以下のように展開する: \begin{eqnarray} \Deqlab{展開V_H2} \Dvect{v}_{H0} &=& \Dvect{v}_{H00} + \alpha_{2}\Dvect{v}_{H01} + \alpha_{2}^{2}\Dvect{v}_{H02} + \cdots , \\ w_{0} &=& w_{00} + \alpha_{2}w_{01} + \alpha_{2}^{2}w_{02} + \cdots , \\ \theta'_{1} &=& \theta'_{10} + \alpha_{2} \theta'_{11} + \alpha_{2}^{2}\theta'_{12} + \cdots , \\ \Pi'_{1} &=& \Pi'_{10} + \alpha_{2}\Pi'_{11} + \alpha_{2}^{2}\Pi'_{12} + \cdots , \\ \Deqlab{展開theta2} \rho_{s0} &=& \rho_{s00} + \alpha_{2}\rho_{s01} + \alpha_{2}^{2}\rho_{s02} + \cdots . \end{eqnarray} ただし密度 $\rho_{s0}, \rho_{s00}, \rho_{s01}, \cdots$ は有次元量である. \newpage \subsection{$\alpha_{2}$ に関する 0 次と 1 次の式} 状態方程式\Deqref{密度0} の変数を $\alpha_{2}$ で展開すると, \begin{eqnarray*} \rho_{s00} + \alpha_{2} \rho_{s01} + \cdots = \frac{p_{b}}{R\Theta } \left(1 - \alpha_{2}\right)^{1/\kappa ~ - 1} . \end{eqnarray*} $O (\alpha_{2}^{0})$ の項を取り出すと, \begin{eqnarray*} \rho_{s00} &=& \frac{p_{b}}{R\Theta } \\ &=& 一定 \end{eqnarray*} であることがわかる. 非弾性方程式の連続の式 \Deqref{無次元非弾性-連続} の変数も 同様に展開すると, \begin{eqnarray*} \Dgrad \cdot \left\{\left(\rho_{s00} + \alpha_{2} \rho_{s01} + \cdots \right) \left(\Dvect{v}_{00} + \alpha_{2} \Dvect{v}_{01} + \cdots \right) \right\} = 0 . \end{eqnarray*} ただし $\Dvect{v_{00}} = (u_{00}, v_{00}, w_{00})$, $\Dvect{v_{01}} = (u_{01}, v_{01}, w_{01})$, $\cdots$ である. よって $O (\alpha_{2}^{0})$ の連続の式は \begin{eqnarray*} \Dgrad \cdot \Dvect{v}_{00} = 0 \end{eqnarray*} となる. $O(\alpha_{2}^{1})$ の式を求めるには, 非弾性方程式の運動方程式 \Deqref{無次元非弾性-運動H}, \Deqref{無次元非弾性-運動V} と熱力学の式 \Deqref{無次元非弾性-熱}に ついて $O(\alpha_{2}^{1})$ の項を集めればよい. \newpage \subsection{ブシネスク方程式} まとめると, 理想気体に対するブシネスク方程式は \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{無次元ブシネスク-運動H} \DD{\Dvect{v}_{H 00}}{t} &=& - \Dgrad_{H} \Pi'_{10} , \\ \Deqlab{無次元ブシネスク-運動V} \DD{w_{00}}{t} &=& - \DP{\Pi'_{10}}{z} + \theta'_{10} , \\ \Deqlab{無次元ブシネスク-連続} \Ddiv \Dvect{v_{00}} &=& 0 , \\ \Deqlab{無次元ブシネスク-熱} \DD{\theta'_{10}}{t} &=& -w_{00} . \end{eqnarray} \end{screen} ここで \begin{eqnarray*} \DD{}{t} &=& \DP{}{t} + \Dvect{v}_{00} \cdot \Dgrad \end{eqnarray*} である. 次元を戻すと \begin{screen} \begin{eqnarray} \Deqlab{ブシネスク-運動} \DD{\Dvect{v}}{t} &=& - c_{p}\Theta \Dgrad\Pi' + \frac{\theta'}{\Theta } g \Dvect{k}, \\ \Deqlab{ブシネスク-連続} \Dgrad \cdot \Dvect{v} &=& 0 , \\ \Deqlab{ブシネスク-熱} \DD{\theta'}{t} &=& - \frac{N_{s}^{2} \Theta}{g} w \end{eqnarray} \end{screen} となる. %-------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- % 表題 非弾性方程式系とブシネスク近似 エネルギー方程式 % % 履歴 2001/06/01 小高正嗣 % 02/11/24 高橋こう子 以後の履歴は上に記述 % % \input{energy.tex} %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{非弾性方程式のエネルギー方程式} ここでは非弾性方程式のエネルギー方程式を導出する. 導出に先立ち 有次元の非弾性方程式 \Deqref{非弾性-運動}$\sim$\Deqref{非弾性-熱}の 各式を成分表示する. $\Dvect{v}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ とすると, \begin{eqnarray} \Deqlab{非弾性運動方程式の成分表示} \DP{v_{i}}{t} + v_{j} \DP{v_{i}}{x_{j}} &=& - c_{p}\Theta \DP{\Pi'}{x_{i}} + \frac{\theta'}{\Theta} g \delta_{i3} , \\ \Deqlab{非弾性連続の式の成分表示} \DP{\rho_{0}v_{i}}{x_{i}} &=& 0 , \\ \Deqlab{非弾性熱力学の式の成分表示} \DP{\theta'}{t} + v_{j}\DP{\theta'}{x_{j}} &=& - \frac{N_{s}^{2}\Theta }{g} v_{3} . \end{eqnarray} ここで $i=1,2,3$, $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタである. 以下では添字については和の規約に従うものとする. 単位体積あたりの運動エネルギー方程式は\Deqref{非弾性運動方程式の成分表示} 式に $\rho_{0} u_{i}$ をかけることで得られる: \begin{eqnarray} \Deqlab{非弾性系の運動エネルギーの式} \left(\DP{}{t} + v_{j} \DP{}{x_{j}}\right) \Dinv{2}\rho_{0}(v_{i})^{2} = - c_{p}\Theta \DP{(\rho_{0} \Pi'v_{i})}{x_{i}} + \rho_{0} \frac{\theta'}{\Theta} g v_{3} . \end{eqnarray} 途中の変形で\Deqref{非弾性連続の式の成分表示}式を利用した. 単位体積あたりの熱エネルギーの式は\Deqref{非弾性熱力学の式の成分表示}式 に $\rho_{0} c_{p}\Pi_{0}$ をかけることで得られる. 浮力振動数の定義 \Deqref{Brant-Vaisala} より, \begin{eqnarray*} \Pi_{0} \left(\DP{}{t} + v_{j} \DP{}{x_{j}}\right) \rho_{0} c_{p} (\theta'+\Theta) = 0 . \end{eqnarray*} $\Pi_{0}\Theta =T_{0}$, $\Pi_{0}\theta'=T'$ から, \begin{eqnarray*} \left(\DP{}{t} + v_{j} \DP{}{x_{j}}\right) \rho_{0} c_{p} (T' + T_{0}) = \rho_{0} c_{p} (\theta'+\Theta) v_{3} \DP{\Pi_{0}}{x_{3}} . \end{eqnarray*} よって, 静力学平衡の式 \Deqref{静力学平衡a0}の次元を戻した式と \Deqref{エクスナ0} 式から, \begin{eqnarray} \Deqlab{非弾性系の熱エネルギーの式} \left(\DP{}{t} + v_{j} \DP{}{x_{j}}\right) \rho_{0} c_{p} (T' + T_{0}) + \rho_{0} g v_{3} &=& - \rho_{0} \frac{\theta'}{\Theta }g v_{3} \end{eqnarray} となる. \pagebreak 単位体積あたりの全エネルギーの式は\Deqref{非弾性系の運動エネルギーの式} と\Deqref{非弾性系の熱エネルギーの式}との和をとることで得られる: \begin{eqnarray} \Deqlab{非弾性系の全エネルギーの式} \left(\DP{}{t} + v_{j} \DP{}{x_{j}}\right) \rho_{0} \left[\Dinv{2}(v_{i})^{2} + c_{p}(T' + T_{0})\right] + \rho_{0} g v_{3} = - c_{p} \Theta \DP{(\rho_{0} \Pi' v_{i})}{x_{i}} . \end{eqnarray} $\Theta $ がほぼ鉛直に一様であるとみなせる場合は, \begin{eqnarray} \Deqlab{非弾性系の全エネルギーの式(等温位大気)} \left(\DP{}{t} + v_{j} \DP{}{x_{j}}\right) \rho_{0} \left[\Dinv{2}(v_{i})^{2} + c_{p}T' \right] = - c_{p}\DP{(\rho_{0} \Theta \Pi'v_{i})}{x_{i}} \end{eqnarray} となる. 元となる基礎方程式を線型化して導出したエネルギー方程式には $p'^{2}$ ($p'$ は圧力の微小変動)の項が含まれる. この項は弾性エネルギーとよばれる. ここで得られたエネルギー方程式 \Deqref{非弾性系の全エネルギーの式} には $p'^{2}$ の項が含まれていない. そのため \Deqref{無次元非弾性-運動H} $\sim$ \Deqref{無次元非弾性-熱} の方程式系または \Deqref{非弾性-運動} $\sim$ \Deqref{非弾性-熱} を非弾性方程式とよんでいるのである. %======================================================================= \newpage \section{参考文献} \begin{description} \item 小倉義光, 1978: 気象力学通論. 東京大学出版会. \item 小倉義光, 1997: メソ気象の基礎理論. 東京大学出版会. \item Ogura, Y. and N. A. Phillips, 1962: Scale analysis of deep and shallow convection in the atmosphere. {\it J. Atmos. Sci.}, {\bf 19}, 173-179. \item 佐藤正樹, 1987: ブシネスク近似. 東京大学理学部地球物理学科気象学研究室セミナーノート. \end{description} %======================================================================= \newpage \section{謝辞} 本稿は 1987 年に東京大学地球物理学科気象学研究室 にて行われたセミナーにおけるセミナーノートがもととなっている. 原作版は佐藤正樹によるセミナーノート(1987/04/17)である. 小高正嗣, 林祥介によって地球流体電脳倶楽部版理論マニュアル 「非弾性方程式とブシネスク近似」として書き直された. さらに高橋こう子, 林祥介によって地球流体電脳倶楽部版理論マニュアル 「非弾性方程式とブシネスク方程式」として書き直された. 構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてにも 感謝しなければならない. 本資源は, 地球流体電脳倶楽部の インターネット上での学術知識の集積と活用の実験の一環として \begin{center} http://www.gfd-dennou.org/arch/riron/gfdeqs/anelast/pub/ \end{center} において公開されているものである. \copyright 高橋こう子, 小高正嗣, 林祥介 (K. Takahashi, M. Odaka and Y.-Y. Hayashi) 2002. 本資源は, 著作者の諸権利に抵触しない(迷惑をかけない)限りにおいて 自由に利用していただいて構わない. なお, 利用する際には今一度自ら内容を確かめることをお願いする (無保証無責任原則). 本資源に含まれる元資源提供者(図等の版元等を含む)からは, 直接的な形での WEB 上での著作権または使用許諾を得ていない 場合があるが, 勝手ながら, 「未来の教育」のための実験という 学術目的であることをご理解いただけるものと信じ, 学術標準の引用手順を守ることで諸手続きを略させていただいている. 本資源の利用者には, この点を理解の上, 注意して扱っていただけるようお願いする. 万一, 不都合のある場合には \begin{center} riron@gfd-dennou.org \end{center} まで連絡していただければ幸いである. \end{document}