%表題   重力波に関するノート
%
%履歴   2001/01/27 Hiroshi Taniguchi
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\documentclass[12pt,a4j,dennou]{jreport}

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\Dauthor[谷口 博]{}           % ノート作成者(ノートの右下に表示される)

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\begin{document}

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\Ztitle{地球流体波動ノート}   % ノートタイトル(ノートの左上に表示される)
\tableofcontents              % 目次の表示

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\chapter{重力波の基礎理論}    % 章 

\section{はじめに}            % 節

時空間上の2点間(これを, {\bf 系}と呼ぶ)で, その間の媒体の移動なしに情報
を伝えるものを{\bf 波} と呼ぶ. 波の生成には, {\bf 復元力}と{\bf 慣性}の
存在が必要である. 復元力は, 系を元の状態に戻す働きをする. 一方, 慣性とは, 
系が元の状態に戻った後もその運動を続けようとする働きのことである. \\

波の運動形態は, 二つに分類される. 一つは, 復元力が媒体の圧縮性もしくは弾
性によって生じる場合である. この波は, {\bf 圧縮波}({\it compression
wave}), {\bf 弾性波}({\it elastic wave}), あるいは, {\bf 圧力波}({\it
pressure wave})と呼ばれ, 流体粒子は波が伝播する方向に振動する({\bf 縦波}). 
この振動の振幅が小さい場合には, {\bf 音波}({\it sound wave})となる. 一方, 
もう一つの運動形態は, 重力が復元力となる場合である. この波は, {\bf 重力
波}({\it gravity wave})と呼ばれる. 特に, 水面のような自由表面上の重力波
を{\bf 表面重力波}({\it surface gravity waves}), 密度の異なる二つの流体
の間({\bf 界面}: {\it interface})で存在する重力波を{\bf 内部重力波}({\it
internal gravity waves})と呼ぶ.  重力波の流体粒子の運動は, 波の伝播の方
向に平行な成分と垂直な成分の両者を併せ持つ({\bf 横波}). \\

本章では, 重力波の基礎的な性質をまとめる. 以下では, 波の周期は自転周期よ
りもはるかに大きいとし, 波の運動は惑星の自転に影響されないものと仮定する. 
%また, 支配方程式が線形になる場合には, 波の振幅は小さいものと仮定する. 


\section{表面重力波}

本節では, 一様な深さ $H$ をもつ海上の自由表面における重力波を議論する. 

\subsection{表面重力波の定式化} % 小節

波の波長を $\lambda$, 自由表面の振幅を $a$, 静止状態からの鉛直変位を
$\eta(x,t)$ とし, $a/\lambda\ll 1$ (海面の傾斜は小さい)かつ $a/H\ll 1$
(波があっても海の深さは変わらない)とする. また, $x$ 方向にのみ伝播する場
合を扱い, 運動は $x-z$ 平面内の2次元とする.\\

\subsubsection{● 速度ポテンシャルの導入}

回転の無い運動であるから, はじめに速度ポテンシャル $\phi$ を以下のように
定義する: 

\begin{equation}
 u\equiv\frac{\partial\phi}{\partial x}, 
\qquad 
 w\equiv\frac{\partial\phi}{\partial z} \label{sokudo-potential}
\end{equation}

\subsubsection{● 連続の式}

速度ポテンシャルをを連続の式

\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{renzoku-2d}
\end{equation}

\medskip
に代入して以下のラプラス方程式を得る: 

\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} 
+ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}
= 0 \label{laplace-eq}
\end{equation}

\subsubsection{● 境界条件}

海底では鉛直流が無いので境界条件は以下のようになる. 

\begin{equation}
 w = \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H \label{boundary-1}
\end{equation}

\medskip
一方, 水面では, 海面の変位の速度が鉛直流に等しいから, 境界条件は以下のよ
うになる. 

\begin{equation}
 \frac{D\eta}{Dt} = w_{\eta} \qquad \mbox{at}\quad z=\eta \label{boundary-2} 
\end{equation}

\medskip
ここで, $D/Dt=\partial/\partial t + u(\partial/\partial x)$, $w_{\eta}$
は, 自由表面での流体の速度の鉛直成分である. これは, 速度ポテンシャルを用
いて以下のように書ける. 
\begin{equation}
   \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ u\frac{\partial\eta}{\partial x}\bigg|_{z=\eta} 
=  \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-3}
\end{equation}
振幅の小さい波の場合, $u$ と $\partial\eta/\partial x$ は共に小さいから, 
$u(\partial\eta/\partial x)\ll 1$ は(\ref{boundary-1})中の他の項よりもオー
ダが一つ小さくなる. したがって以下を得る. 

\begin{eqnarray}
\vspace{-25mm}
    \frac{\partial\eta}{\partial t}
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-4} \\
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0}
 +\eta \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}\bigg|_{z=0}
 +\cdots
\simeq
 \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} \nonumber \\
 \frac{\partial\eta}{\partial t}
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \label{boundary-5}
\end{eqnarray}
さらに, 自由表面下の圧力を以下のように仮定する. 

\begin{equation}
 p = 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta
\end{equation}

\medskip
ここで運動方程式は, 以下のようになる: 

\begin{equation}
  \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t}
+ ({\Vectm u}\cdot\nabla){\Vectm u}
= 
-\frac{1}{\rho}\nabla p 
+ {\Vectm g}
+ {\Vectm F}  
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t}
+ \nabla\left(\frac{1}{2}|{\Vectm u}|^{2}\right) 
- {\Vectm u}\times\mbox{rot}{\Vectm u}
= 
-\frac{1}{\rho}\nabla p 
+ {\Vectm g}  
+ {\Vectm F}  
\end{equation}

\medskip
渦無し条件と速度ポテンシャルを用いて以下のように書ける(Bernoulli's equation).  

\begin{equation}
  \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ \frac{1}{2}(u^{2}+w^{2})
= 
- \frac{p}{\rho}
- gz  
+ F(t)
\end{equation}

\medskip
ここで, $(u^{2}+w^{2})$ の非線形項は, 振幅の小さい波の場合は無視できる.
また, $F$ は左辺の $\partial\phi/\partial t$ に含めて新たに $\phi$ を定
義する. また, $p=0$ である. これより以下の関係を得る. 

\begin{equation}
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ g\eta 
= 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta
\end{equation}

\medskip
先の場合と同様に, $\partial\phi/\partial t$ は $z=0$ でも同様に評価でき
るから, 以下の境界条件を得る: 

\begin{equation}
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ g\eta 
= 0 \qquad \mbox{at} \quad z=0 \label{boundary-6}
\end{equation}

\subsubsection{● 表面重力波の解の導出}

これまでを要約すると, 解くべき方程式, 境界条件は以下の様になる: 

$$
  \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}
+ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}
= 0 \eqno(\ref{laplace-eq})
$$
$$
 \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H  \eqno(\ref{boundary-1})
$$
$$
   \frac{\partial\eta}{\partial t}
=  \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \eqno(\ref{boundary-5})
$$
$$
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
= - g\eta  \qquad \mbox{at} \quad z=0 \eqno(\ref{boundary-6})
$$

\medskip
ここで, 解 $\eta(x,t)$ の形を以下のように仮定する. 

\begin{equation}
 \eta = a\cos(kx-\omega t) \label{eta-solution}
\end{equation}

\medskip
ただし, $k, \omega$ はそれぞれ東西波数, 振動数である. この $\eta$ を用い
ると, (\ref{boundary-5}),(\ref{boundary-6})より $\phi$ は, sin 型の関数
になることが分かる. これより, $\phi$ を以下のように仮定することにする: 

\begin{equation}
 \phi = f(z)\sin(kx-\omega t) \label{laplace-eq-solution}
\end{equation}

\medskip
(\ref{laplace-eq-solution})を(\ref{laplace-eq})に代入して次式を得る: 

$$
 \frac{d^{2}f}{dz^{2}} - k^{2}f = 0
$$

\medskip
この一般解は次のようになる: 

\begin{equation}
 f(z) = Ae^{kz} + Be^{-kz}
\end{equation}

\medskip
したがって, 速度ポテンシャルは次のように表される: 

\begin{equation}
 \phi = (Ae^{kz} + Be^{-kz})\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-2}
\end{equation}

\medskip
これより(\ref{boundary-1})式から以下の関係式を得る: 

\begin{equation}
 B = Ae^{-2kH} \label{A-B-kankei-1}
\end{equation}

\medskip
また, (\ref{sokudo-potential-2})の左辺において

$$
 \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} 
= k(Ae^{k\eta}-Be^{-k\eta})\sin(kx-\omega t)
$$

\medskip
である. ここではじめの仮定(自由表面の傾斜と振幅は小さい)より $k\eta\ll
1$ であるから $e^{k\eta}\simeq e^{-k\eta}\simeq 1$ である. したがって
(\ref{eta-solution}),(\ref{sokudo-potential-2})を
(\ref{boundary-5})に代入して次の関係を得る: 

\begin{equation}
 k(A-B) = a\omega \label{A-B-kankei-2}
\end{equation}

\medskip
よって, (\ref{A-B-kankei-1}),(\ref{A-B-kankei-2})から $A,B$ は次のように
なる. 

\begin{equation}
 A = \frac{a\omega}{k(1-e^{-2kH})}, \qquad B = \frac{a\omega e^{-2kH}}{k(1-e^{-2kH})}
\end{equation}

\medskip
よって速度ポテンシャルは次のようになる: 
\begin{eqnarray}
 \phi &=& \left(
           \frac{a\omega         e^{ kz}}{k(1-e^{-2kH})}
          +\frac{a\omega e^{-2kH}e^{-kz}}{k(1-e^{-2kH})}
          \right) \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{e^{kz} + e^{-2kH}e^{-kz}}{1-e^{-2kH}}
          \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{e^{k(z+H)} + e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}
          \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-3}
\end{eqnarray}
したがって, 速度成分は次のようになる: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  u &=& a\omega\displaystyle\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)  \\[2ex]
  w &=& a\omega\displaystyle\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t)  \\
 \end{array} \label{laplace-eq-solution-2}
\end{equation}

\subsection{表面重力波の分散関係式}

表面重力波の分散関係式は, (\ref{eta-solution})と
(\ref{sokudo-potential-3})を(\ref{boundary-6})に代入して得られる: 

\begin{equation}
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \label{hyoumen-gw-bunsan}
\end{equation}

\medskip
よって, 位相速度 $c=\omega/k$ は次の様になり, 分散性($c$ の波数依存性)が
あることがわかる.

\begin{equation}
 c = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \label{hyoumen-gw-phase-speed}
\end{equation}

\subsection{表面重力波の圧力成分}

次に圧力成分を考える. 圧力 $p$ は以下の線形化した Bernoulli's equation
を満たす:
 
\begin{equation}
  \frac{\partial\phi}{\partial t}
+ \frac{p}{\rho}
+ gz
= 0  \label{bernoulli-p}
\end{equation}

\medskip
ただし, 外力は 0 とした. ここで, 
\begin{equation}
 p' \equiv p - \underbrace{(-\rho gz)}_{静止場での圧力} = p + \rho gz
\end{equation}
であるから, この $p$ を(\ref{bernoulli-p})に代入して以下の式を得る: 

\begin{equation}
 p' = -\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}
\end{equation}

\medskip
よって, 上式に(\ref{sokudo-potential-3})を代入すると, $p'$ は以下のよう
になる: 

\begin{equation}
 p' = \frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-1}
\end{equation}

\medskip
さらに, (\ref{hyoumen-gw-p-1})に分散関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を代
入すると次式を得る: 

\begin{equation}
 p' = \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-2}
\end{equation}

\end{document}