\chapter{検定の前提となる事柄} % 章 %\section{検定に関する用語、概念} % 節 \section{確率変数} %\subsection{確率変数、分布関数、確率密度関数} \subsection{標本点、標本空間} 同一条件下で繰り返される実験あるいは観察を{\bf 試行}といい、試行の結果と して起こる事柄を{\bf 事象}という。また、 ある試行について、考え得る限りの可能な個々の結果を{\bf 標本点(素事象、 根源事象)}\footnote{根源事象：それ以上細かく分解して考えられない事象。 例えば、サイコロを投げたとき、1の目が出ること。}といい、このような結果の 全体(集合\footnote{ある明確に定まった条件に適するものの集まり。})を {\bf 標本空間}といい、$\Omega$で表す。例を挙げると、1つのサイコロを1回 投げるとき、偶数の目がでるという事象$A$ は、$A=\{2,4,6\}$、標本空間は、 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ と表される。 \vspace{5mm} いま、ある事象に対応する部分集合\footnote{部分集合：2つの集合A、Bにおい て、Bの要素がすべてAの要素であるとき、BはAの部分集合、あるいはBはAに 含まれるといい$B \in A$ と書く。}を$A$ とし、試行の結果$\omega$ が$A$ に 属する1点を表すとき、すなわち \[ \omega \in A\] であるとき、この試行で事象$A$ が起こったということにすれば、普通用いられ る集合演算に次のような具体的な事象的な意味が対応つけられる。\\ $~~~~~~A \cup B\cdots\cdots$事象$A,B$ のうち少なくとも1つが起こるという 事象、 \\ $~~~~~~A \cap B\cdots\cdots$事象$A$ および$B$ がともに起こる という事象、 \\ $~~~~~~A - B\cdots\cdots$事象$A$ が起こり、$B$ が起こらない という事象、\\ $~~~~~~A^c~~~\cdots\cdots$事象$A$ が起こらないという事象。 \\ %変数\footnote{変数：数を代表する文字が、一つの問題を考察している間、 %種々の値を取る得るとみなす時、これを変数という。また、数以外の事項にも %拡張して用いる。$\leftrightarrow$ 定数}$X$ のとり得る値 %$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 及び$X$ がこれらの値をとる確率 %$p_1,p_2,\cdots,p_n$ が定まっているとき、変数$X$ を{\bf 確率変数}といい、 %$x_1,x_2,\cdots,x_n$ と$p_1,p_2,\cdots,p_n$ の対応関係を確率変数$X$ の %{\bf 確率分布}という。ここで、$p_1+p_2+\cdots+p_n=1.$ \subsection{$\sigma-$集合体} %確率変数を数学的にきちんと定義するには、確率の定義から始める必要がある。 次にこの事象$A$ に確率という数値を対応させることを考える。 確率はある事象が起こる「確からしさ」を表す実数値である。 確率を定義するとき、その定義域にあたる集合族をきちんと決める必要がある。 この集合族としては、次のような$\mathcal{U}$ (これを{\bf $\sigma-$集合体}ということにする)を考える。 $\mathcal{U}$ は次の性質をもっている。 $\Omega$ の部分集合(Aなど。ここで$A \in \Omega$)からなる、 空でない集合族である。 \begin{description} \item[$\mathcal{U}$の条件1] $\Omega$ の部分集合(集合Aなど。ここで$A \in \Omega$)からなる、 空でない集合族である。 \item[$\mathcal{U}$の条件2] 集合$A$ が$\mathcal{U}$ に属するとき、補集合$A^c$ もまた $\mathcal{U}$ に属する。 \item[$\mathcal{U}$の条件3] 集合$A_i(i=1,2,\cdots)$ が$\mathcal{U}$ に属するとき、\\ 和集合$\cup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots$ もまた$\mathcal{U}$ に属する。 \end{description} これらの条件を満たすから、任意の$\sigma-$集合体$\mathcal{U}$ は次のよう な性質をもつ。 \begin{description} \item[$\mathcal{U}$の性質1] 常に元の空間$\Omega$ (確実に起こる事象の意味にとれる)を含む。 \\ なぜなら、$\mathcal{U}$ に属している一つの集合を$A$ とおくと、 $\mathcal{U}$の条件2より$A^c \in \mathcal{U}.$ \item[$\mathcal{U}$の性質2] 常に空集合\footnote{要素(集合を構成する個々のもの、元ともいう) を全く含まない集合のこと。}$\phi$(起こり得ない事象の意味)を 含む。\\ なぜなら、上と同様に$\mathcal{U}$ に属している一つの集合を $A$ とおくと、$\mathcal{U}$の条件2より$A^c \in \mathcal{U}.$ また$\mathcal{U}$の条件3より \[ \Omega = A \cup A^c \in \mathcal{U}, ~~~~\phi=\Omega^c \in \mathcal{U}. \] \item[$\mathcal{U}$の性質3] $A_1,A_2$ が$\mathcal{U}$ に属するときは %$A_1 \cup A_2 \in \mathcal{U}$ であるが、 $A_1 \cap A_2$ もまた$\mathcal{U}$ に属す。 \[ なぜならA_1 \cap A_2 = (A_1^c \cup A_2^c)^c \in \mathcal{U}. \] \item[$\mathcal{U}$の性質4] $A_1,A_2$ が$\mathcal{U}$ に属するとき、$A_1-A_2$もまた $\mathcal{U}$ に属す。 \[ なぜならA_1-A_2=(A_1^c \cup A_2)^c \in \mathcal{U}. \] \item[$\mathcal{U}$の性質5] 一般的に、$\mathcal{U}$ に属する集合の間に$\cup,\cap,-,c$ の 集合演算を可付番無限回ほどこして得られる集合もまた$\mathcal{U}$ に属する。 \end{description} ここで、$\Omega$と$\mathcal{U}$の例を挙げておく。1つのサイコロを1回投げ る場合を考えると、 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ に対し、 \\ ~~~~~~$\mathcal{U}=\{1\},\{2,4\},\{1,2,3,4,5,6\},\{\phi\},\cdots$ \\ となる。 \subsection{確率、確率空間} $\sigma-$集合体$\mathcal{U}$ のすべての集合$A$ に対し、一意的に定められ た関数$P(A)$ が次の条件を満たすとき、$P(A)$ を{\bf 事象$A$ が起こる} (または{\bf 事象$A$ の}){\bf 確率}という。 \begin{description} \item[確率の条件1] $P(A)\geq 0,~~~~(A \in \mathcal{U}),$ \item[確率の条件2] $P(\Omega)=1,$ \item[確率の条件3] $A_i \in \mathcal{U},A_i \cap A_j = \phi, (i\neq j)$ であるとき、 \\ \begin{equation} P(\cup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i) \end{equation} \end{description} 注意 \\ \begin{enumerate} \item 確率の条件1の中に$P(A)\leq 1$ が欠けているようにみえるが、これは 他の2条件が満たされれば成り立つ。 \\ 証明 \\ \begin{equation} \Omega=A \cup A^c ,A \cap A^c=\phi \nonumber \\ \end{equation} よって確率の条件3および確率の条件2より \[ P(A)+P(A^c)=P(A \cup A^c)=P(\Omega)=1. \] \[ P(A) \geq 0,~~~~P(A^c) \geq 0 \] なので、 \[ 0 \leq P(A) \leq 1,~~~~0 \leq P(A^c) \leq 1.~~~~~(証明終わり) \] \item 確率の条件3は確率事象$A_1,A_2,\cdots$ のどの2つをとっても {\bf 排反事象}(同時に起こることがあり得ない事象)であるとき、 $A_1,A_2,\cdots$ のうち少なくとも1つの事象が起こる確率は、各事象の 起こる確率の和で表されるという意味である。これは $A_1,A_2,\cdots$ が 有限個の場合も含んでいる。すなわち$n a) \] であるから \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{g(a)} f_Y(y) dy&=&\int_a^\infty f_X(x) dx =\int_\infty^a -f_X(x) dx \nonumber \\ &=&\int_{-\infty}^{g(a)} -f_X\{g^{-1}(y)\} \frac{d}{dy}g^{-1}(y) dy \nonumber \end{eqnarray} となる。従って \[ f_Y(y)=-f_X\{g^{-1}(y)\} \frac{d}{dy}g^{-1}(y). \] このとき減少関数$g^{-1}(y)$ の導関数は負であるから、$f_Y(y)$ は正である。 以上の結果を合わせると、(\ref{hensuuhennkan1})式となる。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり) \vspace{5mm} 次にこの考え方を拡張して二変数分布の場合の変数変換の方法を考える。問題は 確率変数$X,Y$ の同時分布$f_{X,Y}(x,y)$ が与えられているとき、$X,Y$ の 与えられた関数$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ の同時分布$f_{U,V}(u,v)$ を求めること である。ただし関数$g,h$ は$X,Y$ の変域内で連続かつ微分可能とする。このと き$X,Y$ の同時分布の確率素分$f(u,v)dudv$ に変換するための換算因子(一変数 のときの$dx/dy$ に相当するもの)は次式で与えられる。 \begin{equation} J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} =\left| \pmatrix{ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \cr \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \cr } \right| \label{yakobian} \end{equation} この換算因子を($U,V$ に関する$X,Y$ の){\bf ヤコービアン}という。\\ ＜ヤコービアンに関する説明＞ 一組の変数$U,V$ が他の一組の変数$X,Y$ の関数として次の式 \begin{equation} U=g(X,Y),~~~V=h(X,Y) \label{u-v} \end{equation} で表されていて、$g$ および$h$ は連続でかつ微分できるものとする。もし $X$ に一定の値を与えれば、これら二つの式から$Y$ を消去して$U$ および $V$ を結び付けることができる。幾何学的には、$X=$const は$UV$ 平面上の 一つの曲線を表す。同様に$Y=$const もまた一つの曲線を表す。即ち $X=c_1,X=c_2,\cdots$ 等は一群の曲線を、$Y=k_1,Y=k_2,\cdots$ 等は他の 一群の曲線を表す。もし式(\ref{u-v})の逆関数があるときはこれを \begin{equation} X=G(U,V),~~~Y=H(U,V) \label{x-y} \end{equation} とし、$G$ および$H$ は連続でかつ微分できるものとする。ある平面上に おいて$X$ を横軸、$Y$ を縦軸にとれば、$U=a_1,U=a_2,\cdots$ および $V=l_1,V=l_2,\cdots$ 等はそれぞれ曲線群を表すことになる。 (\ref{u-v})を(\ref{x-y})に代入すれば \[ X=G(g(X,Y),h(X,Y)),~~~Y=H(g(X,Y),h(X,Y)) \] が得られる。これらをそれぞれ$X$ および$Y$ に関して微分すれば、 \begin{eqnarray} 1&=&\left.\frac{\partial G}{\partial U}\right|_V \left.\frac{\partial g}{\partial X}\right|_Y +\left.\frac{\partial G}{\partial V}\right|_U \left.\frac{\partial h}{\partial X}\right|_Y, ~~~0=\left.\frac{\partial G}{\partial U}\right|_V \left.\frac{\partial g}{\partial Y}\right|_X +\left.\frac{\partial G}{\partial V}\right|_U \left.\frac{\partial h}{\partial Y}\right|_X, \nonumber \\ 0&=&\left.\frac{\partial H}{\partial U}\right|_V \left.\frac{\partial g}{\partial X}\right|_Y +\left.\frac{\partial H}{\partial V}\right|_U \left.\frac{\partial h}{\partial X}\right|_Y, ~~~1=\left.\frac{\partial H}{\partial U}\right|_V \left.\frac{\partial g}{\partial Y}\right|_X +\left.\frac{\partial H}{\partial V}\right|_U \left.\frac{\partial h}{\partial Y}\right|_X. \nonumber \end{eqnarray} ゆえに \begin{equation} J=\frac{\partial G}{\partial U} \frac{\partial H}{\partial V} -\frac{\partial G}{\partial V} \frac{\partial H}{\partial U} =\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \end{equation} が$0$ でなければ\footnote{ \begin{equation} \pmatrix{x \cr y \cr}=\pmatrix{a & b \cr c & d \cr} \pmatrix{u \cr v \cr} \nonumber \end{equation} であるとすると、 \begin{equation} \pmatrix{u \cr v \cr}=\frac{1}{ad-bc}\pmatrix{ d & -b \cr -c & a \cr} \pmatrix{x \cr y \cr}. \nonumber \end{equation} 結局、$J=ad-bc \ne 0$ は逆行列が存在するための条件。 }、 \[ \frac{\partial g}{\partial X}=\frac{1}{J}\frac{\partial H}{\partial V}, ~~\frac{\partial g}{\partial Y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial G}{\partial V}, ~~\frac{\partial h}{\partial X}=-\frac{1}{J}\frac{\partial H}{\partial U}, ~~\frac{\partial h}{\partial Y}=\frac{1}{J}\frac{\partial G}{\partial U} \] が得られる。以上より、 \[J=\left| \pmatrix{ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \cr \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \cr } \right| =\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}. \] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(説明終わり) \vspace{5mm} (\ref{hensuuhennkan1})式に対応し、 二変数分布の変数変換については次の定理が成り立つ。 \begin{description} \item[二変数分布の定理5] $X,Y$ の同時密度関数が$f_{X,Y}(x,y)$ で与えら れ、関数$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ が$X,Y$ の変域内で連続かつ微分可能 なとき、$U,V$ の同時密度関数は次式で与えられる。 \begin{equation} f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\{G(u,v)H(u,v)\} \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \label{2hensuu-5} \end{equation} ただし$G(u,v),H(u,v)$ は$g(x,y),h(x,y)$ の逆関数である。 \end{description} ＜証明＞ \\ ヤコービアンが$X,Y$ の変域内で$0$ でなければ$X,Y$ の逆関数 \[ X=G(U,V),~~~~Y=H(U,V) \] が一価的に定まる。よって$xy$ 平面上の任意の領域$R$ に含まれる点$(x,y)$ は$uv$ 平面上のこれに対応する領域$S$ 内の一点$(u,v)$ と一対一で対応する。 このとき点$(x,y)$ が集合$R$ に属する確率は点$(u,v)$ が集合$S$ に属する 確率に等しい。即ち \[ P[(u,v) \in S]=P[(x,y) \in R] \] である。この関係から \[ \int \int_S f_{U,V}(u,v)dudv =\int \int_R f_{X,Y}(x,y)dxdy \] が成り立つ。ここで \[ X=G(U,V),~~~~Y=H(U,V) \] による変数変換を考える。$XY$座標系において、ベクトル$(dx,0),(0,dy)$ 間の面積は \[ \left|(dX,0) \times (0,dY)\right| = \left| \begin{array}{@{\,}cc@{\,}} dX & 0 \\ 0 & dY \end{array} \right|= dXdY \] となる。ところで、 \begin{eqnarray} dX&=&\frac{\partial G}{\partial U}dU + \frac{\partial G}{\partial V}dV, \nonumber \\ dY&=&\frac{\partial H}{\partial U}dU + \frac{\partial H}{\partial V}dV \nonumber \end{eqnarray} であるから、次に$UV$座標系におけるベクトル、 $(\frac{\partial G}{\partial U}dU,\frac{\partial G}{\partial V}dV), (\frac{\partial H}{\partial U}dU,\frac{\partial H}{\partial V}dV)$ 間の面積は次のようになる。 \[ \left|(\frac{\partial G}{\partial U}dU,\frac{\partial G}{\partial V}dV) \times (\frac{\partial H}{\partial U}dU,\frac{\partial H} {\partial V}dV) \right|= \left| \begin{array}{@{\,}cc@{\,}} \frac{\partial G}{\partial U}dU & \frac{\partial H}{\partial U}dU \\ \frac{\partial G}{\partial V}dV & \frac{\partial H}{\partial V}dV \end{array} \right| = J dUdV. \] よって \begin{eqnarray} \int \int_S f_{U,V}(u,v)dudv &=&\int \int_R f_{X,Y}(x,y)dxdy \nonumber \\ &=&\int \int_S f_{X,Y}\{G(u,v)H(u,v)\} \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv \nonumber \end{eqnarray} という関係が導かれる。この関係は$uv$ 平面上のどのような集合$S$ について も成り立つから、二変数分布の定理5が成り立つ。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり) \vspace{5mm} 即ち$U,V$ の同時密度関数を求めるためには$X,Y$ の変換式$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ を$X,Y$ について解いてこれを$X,Y$ の同時密度関数$f_{X,Y}(x,y)$ に代入し、 $U,V$ に関する$X,Y$ のヤコービアンの絶対値を確率素分の変換因子としてかけ ればいい。新しい変数$U,V$ の変換は$X,Y$ の変域と$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ の 関係からそれぞれの場合につき決定される。なおヤコービアンの式(\ref{yakobian}) の計算については \[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\left[ \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right]^{-1} = \left| \pmatrix{ \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \cr \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \cr } \right|^{-1} \] であるから、左辺よりも右辺の方が計算しやすいときにはこの方法で計算すれば よい。 \begin{description} \item[問題例1] $X,Y$ の同時分布が$f(x,y)=e^{-(x+y)},~x>0,~y>0$ で与えら れ、$U=X+Y,~V=X/Y$ と定めたとき、$f(u,v)$ を求めよ。 \\ $U,V$ の逆関数は \[ X=\frac{UV}{1+V},~~~Y=\frac{U}{1+V} \] であるから変数変換のヤコービアンは \[ J=\left| \pmatrix{ \frac{v}{1+v} & \frac{u}{(1+v)^2} \cr \frac{1}{1+v} & \frac{-u}{(1+v)^2} \cr } \right| = \left|\frac{-u}{(1+v)^2}\right| \] となる。(ただしこの場合は変換式をそのまま使ってヤコービアンの逆数を 求める方が計算は簡単である。即ち \[ J^{-1}=\left| \pmatrix{ 1 & 1 \cr \frac{1}{y} & -\frac{x}{y^2} \cr } \right|=\left|\frac{-(x+y)}{y^2}\right| =\left|\frac{-(1+v)^2}{u}\right| \] となる。)よって$U,V$ の同時分布は \[ f_{U,V}(u,v)=e^{-u}\left|\frac{-u}{(1+v)^2}\right| \] で定められる。$u,v$ の変域は$x>0,~y>0$ であるから$u=x+y>0,~v=x/y>0$ である。よって \[ f_{U,V}(u,v)=\frac{ue^{-u}}{(1+v)^2} \] \end{description} \vspace{5mm} $X,Y$ の同時分布$f(x,y)$ が与えられていてこの二変数の与えられた一関数 $g(X,Y)$ の分布を求めるときも以上の方法を応用して計算することができる。 即ち$U=g(X,Y),~V=X$ または$V=Y$ とおいて$f_{X,Y}(x,y) \to f_{U,V}(u,v)$ の変換を行ない、$f_U(u)=\int f_{U,V}(u,v)dv$ であるから$f_{U,V}$ を $V=X$ または$V=Y$ の変域について積分すればよい。具体例は次の通りである。 \begin{description} \item[問題例2] $f(x,y)=e^{-(x+y)},~x>0,~y>0$ のとき$U=X+Y$ の分布を 求めよ。 \[ U=X+Y,~~~~V=Y \] とおけば、逆関数は \[ X=U-V,~~~~Y=V \] である。よって \[ J=\left| \pmatrix{ 1 & -1 \cr 0 & 1 \cr }\right|=1, \] \[ f_{U,V}(u,v)=e^{-u} \cdot 1=e^{-u} \] である。$y>0$ であるから$v>0$ であるが、$x=u-v>0$ であるから$u>v$ である。 よって$V$ の変域は$00. \nonumber \end{eqnarray} \end{description} \subsubsection{積率母関数による変数変換}\footnote{後で直接使うわけではな い。} 一変数分布の場合と同様に、二変数分布の場合にも積率母関数を使って 変数変換のできる場合がある。いま$X,Y$ の同時分布を$f(x,y)$ とし、 $U=g(X,Y)$ を$X,Y$ の任意の関数とする。このとき$U$ の積率母関数が存在 するならば、それは \[ M_U(t)=E(e^{tU})=\int \int e^{tg(x,y)}f(x,y)dxdy \] で与えられる\footnote{ \[ M_U(t)=E(e^{tU})=\int e^{tU}f(u)Jdu =\int \int e^{tg(x,y)}f(x,y)dxdy \] ということ。}。もしこの関数が既知の確率変数の積率母関数と同形になるならば、 $U$ はそれと同じ形の分布をもつことになる。この方法は$X,Y$ の異なった 二つの関数$g(X,Y),~h(X,Y)$ の同時分布を求める場合(一般に$X,Y$ の関数の いくつかの同時分布を求める場合)にも拡張することができる。 \section{標本分布} %統計調査を行なう際、調査対象としている大きな集まりを {\bf 母集団}と呼ぶ。 %母集団をすべて調査できないときに、母集団の一部を取り出した統計調査が %行なわれる。この一部の測定データを{\bf 標本}と呼ぶ。 %母集団の平均値や分散(標準偏差)値は分かっていないのが普通であるから、 %標本の性質から母集団の性質を推定することが試みられるのである。 \subsection{標本、確率標本} われわれが経験世界で現実に当面する確率変数が本来どのような分布を有するかは 通常明らかではない。このようなときわれわれはその分布についての情報を得る ために、その確率変数についての試験的観察を何回か試みる。このように確率変 数について実際に観察を行なうことを{\bf 標本観察}といい、この標本観察の 対象として選ばれる個体の集合を{\bf 標本}という。これに対して標本観察 によって情報を得ようとする確率変数が定義されている標本空間を、その標本の {\bf 母集団}という。統計解析の中心問題の一つは、標本観察の結果によって 母集団に関する情報をさぐることである。ここで母集団に関する情報とは、 母集団が確率変数に関してどのような分布を有し、その分布がどのような値の 母数によって定められているかということである。われわれはこのような母数の 推定値を標本観察の結果から計算しようとする。 \vspace{5mm} 母集団から確率的に選ばれた個々の観察対象を$\omega$ とし、$i$ 番目に 選ばれた$\omega_i$ について観察された結果を$X_i=X(\omega_i)$ とする。 $X_i$ は確率変数である。$n$ 回の観察結果は$n$ 個の確率変数の集合 \[ \{X_1,X_2,\cdots,X_n\} \] を作る。これを母集団$X$ からの{\bf 大きさ}$n$ 個の標本と呼ぶことにする。 ここで$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ は確率変数(個々の試行の結果にある実数値を 与えるルール、あるいはどのような値が考えられるかを集めた 可能性一覧のようなもの。 直接、確率を表す訳ではなく、確率が定義されるという前提がある場合に 用いられる、一種の変数。)の集合としての標本を意味し、 実際に標本観察の結果として得られた数値の集まり$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ とは区別されている。 \vspace{5mm} 標本観察は対象の持つ量的属性または質的属性について行なわれる。量的属性の 観察結果は直ちに確率変数として取り扱われる。質的属性の場合も特定の性質を 持つか否かによって$(0,1)$ 変数で表現することができる。例えば製品の合格 不合格の観察で、合格を1、不合格を0とすれば、$n$ 個の標本観察の結果は 例えば \[ \{1,1,0,1,0,1,\cdots\} \] で示される。この場合、確率標本$X$ の具体的な数値が $x_1=1,x_2=1,x_3=0,\cdots$ となる。 \vspace{5mm} 母集団$X$ の分布が$f(x)$ で与えられ、$n$ 個の対象が同一かつ不変のこの 母集団から互いに独立に抜き取られるとき、一組の標本観測値 $\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ が得られる確率あるいは確率密度は \[ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n) \] である。 \vspace{5mm} 標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ の確率または確率密度が \\ \begin{equation} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n) \label{kakuriruhyohon} \end{equation} で与えられるとき、$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ を度数関数あるいは密度関数 $f(x)$ を有する母集団$X$ からの大きさ$n$ 個の{\bf 確率標本(無作為標本、 標本)}という。条件(\ref{kakuriruhyohon})が成り立つためには $X_1,X_2,\cdots$ は互いに独立でなければならない。 \vspace{5mm} 確率標本についての注意を挙げておく。 確率標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ は、一定の分布$F$ をもつ 互いに独立な確率変数の組であり、結局、確率標本とは母集団から互いに 独立に抜き取られた(無作為抽出された)標本であるといえる。さらに加えると、 確率標本$X$は集合ではない。また$f(x_1)$ は確率もしくは確率密度なので、 $X_1\neq f(x_1).$ % コイン投げを考えると、母集団はうら、おもて。標本集団はうら、おもて… %母集団が正規分布をするなら、母集団は無限。 %+++++++以下、辞書から+++++++ \\ %一般に、ある統計量の確率分布を{\bf 標本分布}という。一定の分布$F$ をもつ %互いに独立な確率変数の組$X_1,X_2,\cdots,X_n$ を分布$F$ からの{\bf 無作為 %標本}({\bf 確率標本、標本})という。本項目では主として正規分布からの %無作為標本にもとづく統計量$Y=f(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ の標本分布について %述べる。\\ %{\bf 1次元正規分布からの標本} \\ %確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$ が互いに独立にそれぞれ正規分布 %$N(\mu_1,\sigma_1^2),\cdots,N(\mu_n,\sigma_n^2)$ に従って分布 %するとき、それらの1次式$\sum a_iX_i$ は$N(\sum a_i\mu_i,\sum %a_i^2\sigma_i^2)$ に従う。 \\ %$X_1,X_2,\cdots,X_n$ が正規分布$N(0,1)$ からの無作為標本であるとき、 %統計量$Y=\sum X_i^2$ の分布を{\bf 自由度}$n$ の{\bf $\chi^2$(カイ2乗)分布} %という。その密度関数は、$00 \] となる分布を{\bf 正規分布}と呼ぶ。以下に示すように正規分布の平均値は$\mu$、 分散は$\sigma^2$ となる。 平均値が$\mu$ 、 分散が$\sigma^2$ の正規分布を N$\left( \mu , \sigma^2 \right)$ と表すことがある。 特に、N$(0,1^2)$ の場合を{\bf 標準正規分布}と呼ぶ。 \begin{figure} \begin{center} \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{seiki-bunpu.eps}} \caption{標準正規分布のグラフ} \label{seiki-bunpu-zu} \end{center} \end{figure} 正規分布する母集団では、$\mu \pm \sigma$ の範囲に$68\%$、 $\mu \pm 1.65\sigma$ の範囲に$90\%$、$\mu \pm 1.96\sigma$ の範囲に $95\%$ の構成要素が含まれている。 \subsubsection{$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\mu$ の証明} 正規分布の確率密度関数は \[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ~~~~~~~~-\infty< x < +\infty \] である。確率変数$X$の平均は(\ref{eq:e(x)})式で表されるから、 \begin{eqnarray} E(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \nonumber \\ &=&\int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx. \end{eqnarray} ここで$y=x-\mu$とおくと、 \begin{eqnarray} E(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty}~(y+\mu) \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy \nonumber \\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}~y \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy + \int_{-\infty}^{\infty}~\mu \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2} {2\sigma^2}} dy. \label{eq:seikibunpu} \end{eqnarray} ここで第1項は、$z=\frac{y}{\sqrt{2}\sigma}$ とおいて、 \\ \begin{eqnarray} (\ref{eq:seikibunpu})の第1項&=&\int_{-\infty}^{\infty}~\sqrt{2}\sigma z \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-z^2}~\sqrt{2}\sigma dz =\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}~z e^{-z^2} dz \nonumber \\ &=&\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{0}~ z e^{-z^2} dz + \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}~ z e^{-z^2} dz. \nonumber \end{eqnarray} さらに$z^2=a$とおくと$2zdz=da$であるから、 \begin{eqnarray} (\ref{eq:seikibunpu})の第1項&=&\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \int_{\infty}^{0}~\frac{1}{2} e^{-a} da + \frac{\sqrt{2}\sigma} {\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}~ \frac{1}{2} e^{-a^2} da \nonumber \\ &=&\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \left[-e^{-a}\right]_\infty^0 + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \left[-e^{-a}\right]_0^\infty \nonumber \\ &=&\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} (-1+0+0+1) = 0. \nonumber \end{eqnarray} 第2項については、係数の$\mu$はとりあえず別にして (\ref{eq:seikibunpu})式の第2項=$\mu \cdot A$とおく。ただし \[A = \int_{-\infty}^{\infty}~ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy.\] $z=y/\sigma$で変数変換すると \[A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~ e^{-\frac{1}{2}z^2} dz \] となる。積分変数の選択は任意であるから、 \[A^2 = A \cdot A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~ e^{-\frac{1}{2}z^2} dz \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-\frac{1}{2}a^2} da \] \[= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}~\int_{-\infty}^{\infty}~ e^{-\frac{1}{2}(z^2+a^2)} dzda \] $z=r \sin \theta ,a=r \cos \theta$ で極座標に変換すれば、 \begin{eqnarray} A^2&=& \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}~\int_{0}^{\infty}~ e^{-\frac{1}{2}r^2}~rdrd\theta \nonumber \\ &=&\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}~d\theta~\int_{0}^{\infty}~ re^{-\frac{1}{2}r^2}~dr \nonumber \\ &=&\frac{1}{2\pi}\left[\theta \right]_0^{2\pi} \cdot \left[-e^{-\frac{1}{2}r^2}\right]_0^\infty \nonumber \nonumber \\ &=&\frac{1}{2\pi}2\pi(-0+1)=1 \nonumber \end{eqnarray} ここで$A^{2}$について計算したので、$A$の符号を考える。 $\sigma>0$のとき明らかに$A>0$であるから、$A=1$である。 以上をまとめれば、\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$E(X) = 0 + \mu \cdot 1 = \mu$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり) \subsubsection{$var(X)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx=\sigma^2$の証明} 正規分布をする確率変数$X$の分散は(\ref{eq:var(x)})式で表されるから、 \[ var(X) %=\int_{-\infty}^{\infty}~(x-\mu)^2 f(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty}~(x-\mu)^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \] ここで$y=\frac{x-\mu}{\sigma}$とおくと、 \[var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}~\sigma^2 y^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{1}{2}y^2}\cdot \sigma dy =\int_{-\infty}^{\infty}~\sigma^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{1}{2}y^2} y^2 dy.\] 積分する関数は偶関数なので、 \[var(X)=2 \int_{0}^{\infty}~\sigma^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} ~ e^{-\frac{1}{2}y^2}y^2 dy.\] ここで、定積分の公式 \[\int_{0}^{\infty}~e^{-ax^2} x^{2n} dx = \frac{(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} \] を用いて、$a=1/2~,~n=1$の時を考えると、 \[var(X)=2\cdot \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{4} \cdot \sqrt{8\pi}=\sigma^2. \] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~(証明終わり) \subsection{正規分布を母集団とする標本集団の性質} \label{seiki-hyouhon-dis} 平均値 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ の正規分布をしている母集団から大きさ $n$ の サンプルをランダムに抜き取った場合、標本集団の性質は以下のようになる。 \begin{description} \item[定理1] 母集団が平均値$\mu$ 、分散$\sigma^2$ の正規分布をするとき、 大きさ$n$ の確率標本を$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ とすれば、 標本平均値 $\bar{X}$ は平均値$\mu$ 、分散$\sigma^2/n$ で正規分布する。\\ ＜証明＞ $X_i$ は正規分布変数であるから、その積率母関数は以下のようにな る。 \\ \begin{eqnarray} M_X(t)&=&\int_{-\infty}^\infty e^{tx} \cdot \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \nonumber \\ &=&\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{(x^2-2(\sigma^2t+\mu)x+\mu^2}{2\sigma^2}} dx \nonumber \\ &=&\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{\{x-(\sigma^2 t+\mu)\}^2-(\sigma^4 t^2+2\sigma^2 t \mu)} {2\sigma^2}} dx \nonumber \\ &=&\frac{e^{\frac{1}{2}\sigma^2 t^2 + t \mu}} {\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{\{x-(\sigma^2 t +\mu)\}^2}{2\sigma^2}} dx. \nonumber \end{eqnarray} ここで$y=x-(\sigma^2 t+\mu)$ とおくと、 \[ M_X(t)=\frac{e^{\frac{1}{2}\sigma^2 t^2 + t \mu}} {\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy. \] また、$A=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$ とおく。 $z=y/ \sigma$ で変数変換すると、 \[ A=\sigma \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} dz. \] 積分変数の選択は任意であるから、 \\ \begin{eqnarray} A^2=A \cdot A&=&\sigma^2 \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} dz \cdot \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{a^2}{2}} da \nonumber \\ &=&\sigma^2 \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}(z^2+a^2)} dz da. \nonumber \end{eqnarray} $z=r\sin \theta,a=r\cos \theta$ で極座標変換すると、 \\ \begin{eqnarray} A^2&=&\sigma^2 \int_{0}^{2\pi} \int_0^\infty e^{-\frac{1}{2} r^2} r dr d\theta \nonumber \\ &=&\sigma^2 \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \cdot \left[ -e^{-\frac{1}{2}r^2} \right]_0^\infty =\sigma^2 \cdot 2\pi(-0+1)=\sigma^2 2\pi \nonumber \end{eqnarray} ここで$A^2$ について計算したので$A$ の符号を考える。$f(x)>0$ となるため に$\sigma>0$ なので、$A>0.$ よって、$A=\sigma \sqrt{2\pi}$ である。以上より、 \[ M_X(t)=\frac{e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2 t^2}}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot \sigma \sqrt{2\pi} =e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2 t^2}. \] 標本平均値は \\ \[ \bar{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i =\frac{X_1}{n}+\frac{X_2}{n}+\cdots +\frac{X_n}{n} \] であるから、まず$X/n$ の積率母関数を求めると(\ref{bokansuu-cg(x)})式より \[ M_{X/n}(t)=M_X(\frac{t}{n})=e^{\mu\frac{t}{n} +\frac{1}{2}\frac{\sigma^2 t^2}{n^2}} \] となる。$X_i$ は互いに独立であるから(\ref{sekiritubokansu-x1x2x3})より、 \begin{eqnarray} M_{\bar{X}}(t)&=&M_{X_1/n}(t) \cdot M_{X_2/n}(t) \cdots M_{X_n/n}(t) \nonumber \\ %&=&M_{\sum X/n}(t)=M_{X_1/n+X_2/n+\cdots+X_n/n} \nonumber \\ % =e^{\sum^n(\mu \frac{t}{n}+\frac{1}{2} \frac{\sigma^2 t^2}{n^2})} &=&\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n =e^{\mu t+\frac{1}{2}(\frac{\sigma^2}{n})t^2} \nonumber \\ \end{eqnarray} となる。これは平均値$\mu$ 、分散 $\sigma^2/n$ の正規分布の積率母関数であ る。(証明終わり) \item[定理2] 範囲 R\footnote{範囲Rは標本値の最大値と最小値との差、すなわち \[ R=x_n-x_1.\]} は、平均値がもとの母集団の標準偏差の定数倍、つまり $d_{2\sigma}$ で、標準偏差がもとの母集団の標準偏差の定数倍、 つまり $d_{3\sigma}$ の正規分布をする。定数 $d_2$ と $d_3$ は サンプルの大きさ $n$ によって決まった値をとる(数値表にのっている)。 (証明は省略) \item[定理3] 偏差平方和 S の平均値は、もとの母集団の分散$\sigma^2$ の $(n-1)$倍となる。(証明は省略) \end{description} %☆★☆★ ガンマ二乗分布 ★☆★☆ \section{ガンマ分布} 確率変数$X$ の確率密度が次の式で定められるとき、$X$ をガンマ変数、その 分布を{\bf ガンマ分布}という。 \\ \begin{equation} f(x)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}e^{-\lambda x}x^{n-1}~~~~x>0 \label{gamma} \end{equation} ただし、$\lambda,n$ は分布の母数であって、$\lambda>0,~n>0$ である。 $\Gamma(n)$ はガンマ関数。詳しくはAppendix A を参照。 \begin{figure} \begin{center} \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{gamma-bunpu.eps}} \caption{ガンマ分布のグラフ} \label{gamma-bunpu-zu} \end{center} \end{figure} \vspace{5mm} $n=1$ のとき、この分布は指数分布とよばれる。$n \leq 1$ ならばガンマ分布の 形は逆$J$ 字型になる(図1.2参照)\footnote{$n>1$ のときは$X=(n-1)/ \lambda$ がモードである。モードとは度数分布において、度数の最大値に対応 する値、つまり最頻値である。この場合では分布関数の極大値に対応する(即ち $f'(x)=0$ のときの)$X$ の値である。}。 \vspace{5mm} (\ref{gamma})式が密度関数の条件$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1$ をみたす ことは次の通り証明される。 \[ \int_0^\infty f(x)dx=\frac{\lambda}{\Gamma(n)}\int_0^\infty e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n-1} dx. \] $y=\lambda x$ とおいて変換すれば、 \[ \frac{\lambda}{\Gamma(n)} \cdot \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty e^{-y}y^{n-1}dy =\frac{\lambda}{\Gamma(n)}\frac{1}{\lambda} \Gamma(n)=1. \] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり) \vspace{5mm} ガンマ分布の分布関数は次式で与えられる。 \\ \begin{equation} F(x)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \int_0^x e^{-\lambda x}x^{n-1} dx. \end{equation} \vspace{5mm} ガンマ関数の積率母関数は次のように計算される。 \\ \begin{eqnarray} M(t)&=&\int_0^\infty e^{tx} \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} e^{-\lambda x} x^{n-1} dx \nonumber \\ &=&\frac{\lambda^n}{(\lambda-t)^n}\int_0^\infty \frac{(\lambda-t)^n}{\Gamma(n)}e^{-(\lambda-t)x} x^{n-1} dx, \nonumber \\ 積分をy=(\lambda-t)x で変換して \nonumber \\ &=&\frac{\lambda^n}{(\lambda-t)^n} \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^\infty e^{-y}y^{n-1}dy=(\frac{\lambda}{\lambda-t})^n. \nonumber \end{eqnarray} よってガンマ分布の積率母関数は \\ \begin{equation} M(t)=(1-\frac{t}{\lambda})^{-n} \label{gamma-sekiritubokansu} \end{equation} で与えられる。この母関数は次のように級数展開される \footnote{(\ref{beki-kyusu})式の$x$ に$t$ を対応させればよい。}。 \[ M(t)=1+\frac{n}{\lambda}t+\frac{n(n+1)}{\lambda^2}\frac{t^2}{2!}+ \frac{n(n+1)(n+2)}{\lambda^3}\frac{t^3}{3!}+ \cdots \] この展開式からガンマ分布の平均値、分散は直ちに次の通り定まる。 \begin{equation} E(X)=\frac{n}{\lambda} \end{equation} \[ E(X^2)=\frac{n^2+n}{\lambda^2} \] \begin{equation} var(X)=E(X^2)-\left[E(X)\right]^2=\frac{n}{\lambda^2} \end{equation} %☆★☆★ カイ二乗分布 ★☆★☆ \section{カイ二乗分布} \label{sub-chi} 自由度が$k$の{\bf カイ二乗分布}の確率密度関数は \\ \begin{equation} f(x)= \left\{ \begin{array}{@{\,}ll} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})} x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} & \mbox{($x > 0$)} \\ 0 & \mbox{($x \leq 0$)} \end{array} \right. \label{chi-nijo-bunpu} \end{equation} と表される。カイ二乗分布は標本分布の理論で重要な役割をもつ分布の一つ である。以下に示すように、カイ二乗分布の平均は $k$ 、分散は $2k$ となる。 またカイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合である。(\ref{gamma}) 式に$n=k/2,\lambda=1/2$ を代入すればよい。 \begin{figure} \begin{center} \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{chi-nijo-bunpu.eps}} \caption{カイ二乗分布のグラフ} \label{chi-nijo-bunpu-zu} \end{center} \end{figure} よって積率母関数は \begin{equation} M(t)=(1-2t)^{-\frac{k}{2}} \end{equation} となる(\ref{gamma-sekiritubokansu}式を参照)。 この積率母関数は次のように級数展開することができる。 \[ M(t)=1+kt+k(k+2)\frac{t^2}{2!}+k(k+2)(k+4)\frac{t^3}{3!}+\cdots \] よって \begin{eqnarray} \mu_1'&=& k. \nonumber \\ \mu_2'&=& k(k+2). \nonumber \\ \mu_3'&=& k(k+2)(k+4). \nonumber \end{eqnarray} 一般に \begin{equation} \mu_i'=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2i-2) \end{equation} である。この結果からカイ二乗分布の平均値と分散は次のように定められる。 \begin{equation} E(\chi^2)=\mu_1'=k. \end{equation} \begin{equation} var(\chi^2)=\mu_2'-\mu_1'^2=2k. \end{equation} \subsubsection{正規変数の二乗の和の分布がカイ二乗分布になること} いま$X_i(i=1,2,\cdots)$ が平均値$\mu_i$、 分散$\sigma_i^2$ の正規変数であって、互いに独立のとき、 \\ \begin{equation} Z_i=\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i} \label{hyoujunseikihensuu} \end{equation} は標準正規分布変数である。ここで \\ \begin{equation} \chi^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2 \end{equation} と定める。明らかに$\chi^2$ は$X_i$ の関数である。この$\chi^2$ の 分布は積率母関数によって次の通り導かれる。$Z_1,Z_2,\cdots,Z_k$ の 同時密度関数は\footnote{$\prod$ は$n$ 個の数についての相乗積 (2個以上の数を掛け合わせて得た積)。} \\ \begin{eqnarray} f(z_1,z_2,\cdots,z_k)&=&\prod_{i=1}^{k} \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z_i^2/2}\right] \nonumber \\ &=&(\frac{1}{2\pi})^{\frac{k}{2}}e^{-\sum z_i^2/2} \nonumber \end{eqnarray} である。従って$\chi^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2$ の積率母関数は次の 通りになる。 \\ \begin{eqnarray} M_{\chi^2}(t)=E(e^{t\chi^2})&=&\int \cdots \int e^{t \chi^2} f(z_1,z_2,\cdots,z_k)dz_1 dz_2 \cdots dz_k \nonumber \\ &=&(\frac{1}{2\pi})^{\frac{k}{2}} \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty e^{t \sum z^2} e^{-\sum z^2/2} dz_1 \cdots dz_k \nonumber \\ &=&\prod_{i=1}^k \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(1-2t)z_i^2} dz_i \nonumber \end{eqnarray} ところで$\frac{\sqrt{1-2t}}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(1-2t)z^2}$ は分散$\frac{1}{1-2t}$ の正規分布の密度関数であるから \[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(1-2t)z^2} dz = \frac{1}{\sqrt{1-2t}} \] である。よって \[ M_{\chi^2}(t)=(\frac{1}{1-2t})^{\frac{k}{2}}~~~~t<\frac{1}{2} \] である\footnote{$\chi^2$ はこれで1つの文字と同じ扱いをする。}。 従って、$k$ 個の正規変数の二乗和の分布は自由度$k$ のカイ二乗分布となる。 \vspace{5mm} 以上の結果を使って$k \to \infty$ のときカイ二乗分布が正規分布に近付く ことを次のように証明することができる。 \subsubsection{$k \to \infty$ のときカイ二乗分布が正規分布に近付くことの証明} 上記のようにカイ二乗変数の平均値は$k$ 、分散は$2k$ であるから、 $K=(\chi^2-k)/ \sqrt{2k}$ は標準正規変数$Z=(X-\mu)/ \sigma$ に見合う 値である。$\chi^2$ の積率母関数は$M_{\chi^2}(t)=(1-2t)^{-k/2}$ である から、上の変換式で$K$ の積率母関数を求めると次の結果が得られる \footnote{p.\pageref{bokansu-teiri}の積率母関数についての 定理1、2を用いる。}。 \\ \begin{eqnarray} M_K(t)&=&E(e^{\frac{\chi^2-k}{\sqrt{2k}}t}) =e^{-\frac{kt}{\sqrt{2k}}} (1-\frac{2t}{\sqrt{2k}})^{-\frac{k}{2}} \nonumber \\ &=&\left[e^{t\sqrt{2/k}} (1-\sqrt{\frac{2}{k}}t)\right]^{-\frac{k}{2}} \nonumber \\ &=&\left[(1+\sqrt{\frac{2}{k}}t+\frac{1}{2!} \left(\sqrt{\frac{2}{k}}t\right)^2+\cdots) (1-\sqrt{\frac{2}{k}}t)\right]^{-\frac{k}{2}} \nonumber \\ &=&\left[1-\frac{t^2}{k} -\left(\frac{2}{k}\right)^{\frac{3}{2}}\frac{t^3}{3} +\cdots \right]^{-\frac{k}{2}} \nonumber \end{eqnarray} $k \to \infty$ のとき、括弧内の第3項は第2項よりも高次の無限小となるから、 この式は近似的に次の形で示される。 \[ M_K(t) \cong \left[1-\frac{t^2}{k}\right]^{-\frac{k}{2}}. \] $k \to \infty$ のとき、右辺は$e^{\frac{t^2}{2}}$ に収束する\footnote{ \[ \lim_{n \to \infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a \] であるから、 \[ \lim_{k \to \infty} \left\{(1+\frac{-t^2}{k})^k \right\}^{-\frac{1}{2}} =(e^{-t^2})^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{t^2}{2}}. \]}。 これは標準正規分布の積率母関数である。 よってカイ二乗分布は$k \to \infty$ のとき正規分布に近付く。~~~(証明終わり) \vspace{5mm} 次で標本分散の場合について考える。基本的に似た話である。 \subsubsection{母集団分布が正規分布の時、その標本分散は カイ二乗分布をすること} \label{hyohonbunsan-chi} 母集団分布を平均値$\mu$、分散$\sigma^2$ の正規分布とし、 大きさ$n$ の確率標本から計算した標本平均値、標本分散\footnote{ 普通は$s^2=(\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2)/(n-1)$ の場合が多いと思う。 確認して、必要だったら直すこと。}をそれぞれ $\bar{X},s^2$ とする。 \[ s^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n}. \] $s^2$ の式を次のように変形する。 \[ s^2=\frac{1}{n}\sum (X-\mu)^2-(\bar{X}-\mu)^2. \] 両辺に$n/ \sigma^2$ をかけて移項すれば \\ \begin{equation} \sum(\frac{X-\mu}{\sigma})^2=\frac{ns^2}{\sigma^2} +\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2 /n}. \label{sum-x-mu-sigma} \end{equation} 即ち、$\sum (\frac{X-\mu}{\sigma})^2$ が$s^2$ の項と$\bar{X}$ の項に 分解されたことになる。$X$ が正規分布変数のとき、この$\bar{X}$ と$s^2$ は 互いに独立であることが証明される\footnote{『統計数理入門』では証明が省略 されている。}。今、(\ref{sum-x-mu-sigma}) 式を次の記号で示すことにする。 \[ R=P+Q \] 両辺の積率母関数を考えると \[ M_R(t)=M_P(t)\cdot M_Q(t) \] となる。ところで$R=\sum^n (\frac{X-\mu}{\sigma})^2$ は自由度$n$ の カイ二乗変数である。従って \[ M_R(t)=(1-2t)^{-\frac{n}{2}} \] である。また$\sqrt{Q}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ は標準正規 変数であるから、「$X$ が平均値0、分散1 の標準正規変数のとき、$X^2$ は自由度1のカイ二乗分布をする」という定理より、$Q$ は自由度1のカイ二乗変 数である。よって \[ M_Q(t)=(1-2t)^{-\frac{1}{2}} \] となる。従って$P=ns^2/ \sigma^2$ の積率母関数は次の通りになる。 \[ M_P(t)=(1-2t)^{-\frac{n-1}{2}} \] これは自由度$n-1$ のカイ二乗分布の積率母関数である。よって次の定理が 成立する。 \\ \begin{description} \item[定理] 母集団が分散$\sigma^2$ の正規分布を するとき、$s^2$ を大きさ $n$ の確率標本の標本分散とすれば、$ns^2/ \sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布をする。 \label{teiri-5.11} \end{description} $s^2=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2/n$ であるから \[ \frac{ns^2}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}\right)^2 \] である。この式は$R=\sum_{i=1}^n (\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2$ の 母平均$\mu$ の代りに標本平均$\bar{X}$ を使ったものである。いずれもカイ 二乗変数であるが、後者の自由度は$n$ であるのに対し、前者の自由度は$n-1$ である。このとき$\sum (\frac{X-\bar{X}}{\sigma})^2$ は、平均値からの偏差 の二乗和の計算に、母平均の代りに標本平均を使用したことによって自由度を 一つ失った、あるいは平均値の推定のために自由度を1つ使用したという。 \vspace{5mm} 今、$ns^2/ \sigma^2$ の自由度が$n-1$ であることに注意して、カイ二乗分布 の密度関数 (\ref{chi-nijo-bunpu})式を$x=ns^2/ \sigma^2$ で変数変換 すれば、標本分散$s^2$ の分布が次の式で定められる。 \\ \begin{equation} f(s^2)=\left(\frac{n}{2\sigma^2}\right)^{\frac{n-1}{2}} (s^2)^{\frac{n-3}{2}} e^{-\frac{ns^2}{2\sigma^2}}/ \Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right). \end{equation} %%☆★☆ t 分布 ☆★☆★☆★☆★☆★ \section{$t$ 分布} \label{sec-t-bunpu} 自由度が$n$の{\bf $t$ 分布}の確率密度関数は \\ \begin{equation} f(t)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})} {\sqrt{n\pi} \Gamma (\frac{n}{2})(1+\frac{t^2}{n})^{\frac{n+1}{2}}} ~~~~,-\infty0,n>0$ である。 \begin{enumerate} \item $B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx =\int_0^1 z^{n-1}(1-z)^{m-1}dz=B(n,m)$ \item $B(m,n)=(\Gamma(m)\Gamma(n))/ \Gamma(m+n)$ \end{enumerate} ベータ関数の性質の証明は、Appendix B を参照のこと。} \subsubsection{$n \to \infty$ の時、$t$分布が正規分布に近付くことの証明} 今、(\ref{t-distribution})式を \\ \begin{equation} f(t)=C\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}(n+1)} \nonumber \\ ただし~~~~~C=\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) / \sqrt{\pi n} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \nonumber \\ \end{equation} とおく。階乗計算のスターリングの公式は一般にガンマ関数$\Gamma(n+1)$ に 対して($n$ が整数であるとないとに関わらず)$n$ が大きいときに成り立つ 近似式 \footnote{\[ \Gamma(n+1) \cong \sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}. \] ~~~~~ $n$ が正の整数ならば$\Gamma(n+1)=n!$}である。 よって$C$ をこの近似式で計算すると \begin{eqnarray} C&=&\frac{\sqrt{2\pi}\left(\frac{n-1}{2}\right)^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{1}{2}(n-1)}} {\sqrt{2\pi}\left(\frac{n}{2}-1\right)^{\frac{1}{2}(n-1)} e^{-(\frac{n}{2}-1)}\sqrt{\pi n}} = \frac{(n-1)^{\frac{n}{2}} (n-2)^{-\frac{1}{2}(n-1)}} {2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}\sqrt{\pi n}} \nonumber \\ &=&e^{-\frac{1}{2}}(\pi n)^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}(n-2)} \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{n-1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\nonumber \\ \end{eqnarray} となる。$n \to \infty$ のとき\footnote{ \[ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a \]} \[ \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}(n-2)} =\left(1+\frac{1}{n-2}\right)^{(n-2) \cdot \frac{1}{2}} \to e^{\frac{1}{2}} \] \[ \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}} \to 1 , ~~~~~~\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \to 1 \] であるから、 \[ C \to (2\pi)^{-\frac{1}{2}} \] となる。また$f(t)$ の残りの部分は \[ \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}(n+1)} =\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n}{2}} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}} \] で、$n \to \infty$ のとき\footnote{$h=n/t^2$ とおけば、$n \to \infty$ のとき $h \to \infty$ であるから、 \[ \lim_{n \to \infty}(1+\frac{t^2}{n})^n =\lim_{h \to \infty}(1+\frac{1}{h})^{ht^2} =e^{t^2} \]} \[ \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n \to e^{t^2}, \left(1+\frac{t^2}{n}\right) \to 1 \] であるから \[ \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}(n+1)} \to e^{-\frac{1}{2}t^2} \] となる。よって$n \to \infty$ のとき \[ f(t) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2} \] となる。右辺は標準正規分布の密度関数である。(証明終わり) \subsubsection{標本平均値の分布} \label{t-hyouhon} \ref{seiki-hyouhon-dis}節で見たように、正規分布を 母集団とする標本についての統計量 \[ Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma / \sqrt{n}) \] の分布は標準正規分布となる\footnote{ただし$\bar{X}$ は正規母集団から 取り出した大きさ$n$ の確率標本の平均値、$\mu$ は 母集団平均値である。}。しかし母分散 $\sigma^2$ は未知な場合が多いので、 $\sigma^2$ の代りに 標本分散 $s^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2/n$ を用いた\footnote{$\sigma^2=(n/n-1)s^2$ という関係を用いる。} \begin{equation} t= \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}} \label{t-s} \end{equation} がどのような分布に従うか調べておくと、 $\mu$ の区間推定に都合がよい。 (\ref{t-s})式は次のように書き改めることができる。 \[ t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}/ \sqrt{\frac{\frac{ns^2}{\sigma^2}}{(n-1)}} \] この式の分子は標準正規分布変数であり、分母の$\frac{ns^2}{\sigma^2}$ は 自由度$(n-1)$ のカイ二乗変数である \footnote{p.\pageref{hyohonbunsan-chi} の 母集団分布が正規分布の時、 $\cdots$を参照のこと}。 よって(\ref{t-s})式の$t$ は自由度$(n-1)$ の$t$ 分布をする\footnote {p.\pageref{t-shoumei} の$t$ 分布についての証明を参照のこと。}。 この分布は$\sigma$ の代りに$s$ を用い、 平均値を0、標準偏差を1に調節したものとも言える。