% 表題  2 次元 2 重周期境界領域でのβ面順圧流体モデルの定式化
%
% 履歴  2005/10/08 竹広 真一  新規作成
%       2005/10/14 竹広 真一  粘性解追加, 平行流修正
%       2005/10/21 竹広 真一  モドン解追加
%       
%
\documentclass[12pt,a4j,notitlepage]{jarticle}
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\Dtitle[2 重周期領域順圧減衰乱流]
       {2 次元 2 重周期境界領域での順圧流体\\〜減衰乱流問題}
\Dauthor[竹広 真一]{竹広 真一, SPMODEL 開発グループ}
\Ddate{平成 17 年 10 月 21 日} 
\Dparskip

\pagestyle{Dheadings}

\begin{document}

\maketitle

\section{はじめに}

  この文章では, 2 次元 2 重周期境界領域でのβ面順圧流体モデルの
  支配方程式を簡単にまとめ, 
  保存則の定式化とそのスペクトル表現を導出し, 
  最後に減衰乱流実験の問題設定について述べる. 

\section{支配方程式系}

  \subsection{支配方程式}

    $x$, $y$ 方向に各々 $L_x$, $L_y$ の拡がりを持つ
    矩形領域での 2 次元非圧縮流体を考える. 
    支配方程式は渦度方程式である
    \footnote{導出など詳しくは
      「2 次元 2 重周期境界領域での順圧流体モデルの定式化」を
      参照のこと}.
    %
    \begin{eqnarray}
      \Deqlab{流線関数渦度方程式}
        & & \DP{\zeta}{t} + J(\psi,\zeta) +\beta(y)\DP{\psi}{x}
              = (-1)^{p+1}\nu_{2p}\Dlapla[2p] \zeta, \\
        & &  \zeta(x,y,t) = \Dlapla\psi(x,y,t),
    \end{eqnarray}
    %
    ここで $\zeta(x,y,t)$ は相対渦度, $\psi(x,y,t)$ は流線関数であり, 
    速度場 $(u,v)$ と
    \begin{equation}
      \Deqlab{速度と流線関数}
      u = -\DP{\psi}{y}, \quad v = -\DP{\psi}{x}
    \end{equation}
    %
    なる関係をもつ. 

    境界条件は
    %
    \begin{eqnarray}
      \Deqlab{渦度流線関数境界条件}
        & & \zeta(0,y) = \zeta(L_x,y), \quad \zeta(x,0) = \zeta(x,L_y), \\
        & & \psi(0,y) = \psi(L_x,y), \quad \psi(x,0) = \psi(x,L_y). 
    \end{eqnarray}
    %
    ただし, 与える物理パラメター $\beta(y)$ は
    %
    \begin{equation}
      \Deqlab{ベータパラメター境界条件}
      \beta(0) = \beta(L_y),
    \end{equation}
    %
    を満たしていなければならない. 
    $\beta$ が一定の場合がいわゆる $\beta$ 面モデルと呼ばれるものである. 

  \subsection{運動エネルギー保存則}

  \subsection{エンストロフィー保存則}


\section{2 重フーリエ級数展開による表現}

  \subsection{2 重フーリエ展開}

    スペクトル法による数値計算を行うために, 
    各物理量を境界条件を満たす函数系である 2 重フーリエ級数展開する. 
    すなわち, 
    %
    \begin{eqnarray}
      \psi(x,y,t)
         &=& \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
               \tilde{\psi}_{kl}(t)
                 \exp\left(i\frac{2\pi x}{L_x}k\right)
                 \exp\left(i\frac{2\pi y}{L_y}l\right),\\
      \tilde{\psi}_{kl}(t)
         &=& \Dinv{L_x L_y}\int_0^{L_x}\int_0^{L_y}\psi(x,y,t)
                 \exp\left(-i\frac{2\pi k}{L_x}x\right)
                 \exp\left(-i\frac{2\pi l}{L_y}y\right) dx \ dy,
    \end{eqnarray}
    %
    $\tilde{\psi}_{kl}(t)$ は流線関数のスペクトルの波数 $k,l$ 成分, 
    $K,L$ はそれぞれ $x,y$ 方向の切断波数である. 
    渦度 $\zeta(x,y,t)$ のスペクトルも同様に 
    $\tilde{\zeta}_{kl}(t)$ を定義する. 

  \subsection{運動エネルギースペクトル}

    全運動エネルギー
    $\Ddsty E_k(t)=\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} \Dinv{2}\left[
        \left(\DP{\psi}{x}\right)^2+\left(\DP{\psi}{y}\right)^2 \right]
      d x d y $
    をスペクトル成分で表す. 
    $\tilde{k}=(2\pi k/L_x)$, $\tilde{l}=(2\pi l/L_y)$ と置き換え, 
    第 1 項目だけ取りだして変形すると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      \left(\DP{\psi}{x}\right)^2 
         &=& \left(\sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  i\tilde{k}\tilde{\psi}_{kl}(t)e^{i\tilde{k}x+i\tilde{l}y}
             \right)^2 \\
         &=& \left(
               \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                 i\tilde{k}\tilde{\psi}_{kl}(t)e^{i\tilde{k}x+i\tilde{l}y}
             \right)\cdot
             \left(
               \sum_{k'=-K}^{K} \sum_{l'=-L}^{L}
                 i\tilde{k'}\tilde{\psi}_{k'l'}(t)e^{i\tilde{k'}x+i\tilde{l}y}
             \right).
    \end{eqnarray*}
    %
    全領域積分 $\Ddsty\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} d x d y $ を作用させると
    波数が 0 でない組み合わせの積からの積分が 0 となるので
    $k'=-k, l'=-l$ の寄与のみがのこる. したがって,
    %
    \begin{eqnarray*}
      \int_0^{L_x}\int_0^{L_y} \left(\DP{\psi}{x}\right)^2 d x d y
         &=& \int_0^{L_x}\int_0^{L_y}
                \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  i\tilde{k}\tilde{\psi}_{kl}(t)e^{i\tilde{k}x+i\tilde{l}y}
                  (-i\tilde{k})\tilde{\psi}_{-k-l}(t)
                       e^{-i\tilde{k}x-i\tilde{l}y}
             d x d y \\
         &=& \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  \tilde{k}^2\tilde{\psi}_{kl}\tilde{\psi}_{-k-l}
             \int_0^{L_x}\int_0^{L_y} d x d y \\
         &=& L_x L_y
              \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  \tilde{k}^2|\tilde{\psi}_{kl}|^2
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで $\psi(x,y,t)$ が実数である条件から得られる関係式
    %
    \begin{displaymath}
      \tilde{\psi}_{-k-l} = \tilde{\psi}_{kl}^*
    \end{displaymath}
    %
    を用いた\footnote{
      $\psi$ が実数であるから $\psi =\psi^*$ より
      \begin{eqnarray}
      \psi(x,y,t)^*
         &=& \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
               \tilde{\psi}_{kl}^*
                 \exp\left(-i\frac{2\pi x}{L_x}k\right)
                 \exp\left(-i\frac{2\pi y}{L_y}l\right),\\
         &=& \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
               \tilde{\psi}_{-k-l}^*
                 \exp\left(i\frac{2\pi x}{L_x}k\right)
                 \exp\left(i\frac{2\pi y}{L_y}l\right),
      \end{eqnarray}
      各フーリエ成分を比較すると $\tilde{\psi}_{-k-l}^*=\tilde{\psi}_{kl}$,
      すなわち, $\tilde{\psi}_{-k-l}=\tilde{\psi}_{kl}^*$ が得られる.}.
    上付きのアスタリスクは複素共役を表している. 

    第 2 項目も同様に計算すると
    %
    \begin{displaymath}
      \int_0^{L_x}\int_0^{L_y} \left(\DP{\psi}{y}\right)^2 d x d y
         = L_x L_y
              \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  \tilde{l}^2|\tilde{\psi}_{kl}|^2.
    \end{displaymath}
    %
    したがって全領域積分した運動エネルギーは
    \begin{eqnarray}
      E_k(t)&=&\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} \Dinv{2}\left[
        \left(\DP{\psi}{x}\right)^2+\left(\DP{\psi}{y}\right)^2 \right]
         d x d y\nonumber\\
      &=&  L_x L_y\sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
             \Dinv{2}(\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)|\tilde{\psi}_{kl}|^2 \nonumber\\
      &=&  L_x L_y\sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
          \Dinv{2}
          \left[ \left(\frac{2\pi k}{L_x}\right)^2
                +\left(\frac{2\pi l}{L_y}\right)^2 \right]
                   |\tilde{\psi}_{kl}|^2.\nonumber\\
    \end{eqnarray}
    %
    この式から, 各波数でのエネルギー密度, すなわちエネルギースペクトルを
    次のように定義できる. 
    \begin{equation}
      {\cal E}(k,l,t) \equiv
          \Dinv{2}
           (\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)|\tilde{\psi}_{kl}|^2
          = \Dinv{2}\left[ \left(\frac{2\pi k}{L_x}\right)^2
                +\left(\frac{2\pi l}{L_y}\right)^2 \right]
                   |\tilde{\psi}_{kl}|^2.
    \end{equation}
    %
    このとき全運動エネルギーは
    %
    \begin{equation}
      E_k(t) = L_x L_y\sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}{\cal E}(k,l,t).
    \end{equation}

  \subsection{エンストロフィースペクトル}

    全エンストロフィー
    $\Ddsty Q(t)=\Dinv{2}\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} \zeta(x,y,t)^2 d x d y 
         =\Dinv{2}\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} [\Dlapla\psi(x,y,t)]^2 d x d y$
    をスペクトル成分で表す. 
    \begin{eqnarray*}
      [\Dlapla\psi(x,y,t)]^2 
         &=& \left(\sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  (\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)\tilde{\psi}_{kl}
                     e^{i\tilde{k}x+i\tilde{l}y}
             \right)^2 \\
         &=& \left(
               \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  (\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)\tilde{\psi}_{kl}
                     e^{i\tilde{k}x+i\tilde{l}y}
             \right)\cdot
             \left(
               \sum_{k'=-K}^{K} \sum_{l'=-L}^{L}
                  (\tilde{k'}^2+\tilde{l}^2)\tilde{\psi}_{k'l'}
                     e^{i\tilde{k'}x+i\tilde{l'}y}
             \right).
    \end{eqnarray*}
    全領域積分 $\Ddsty\int_0^{L_x}\int_0^{L_y} d x d y $ を作用させると
    波数が 0 でない組み合わせの積からの積分が 0 となるので
    $k'=-k, l'=-l$ の寄与のみがのこる. したがって,
    %
    \begin{eqnarray*}
      Q(t)&=& \Dinv{2}\int_0^{L_x}\int_0^{L_y}[\Dlapla\psi(x,y,t)]^2  d x d y\\
         &=& \Dinv{2}\int_0^{L_x}\int_0^{L_y}
             \left(
               \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                  (\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)\tilde{\psi}_{kl}
                     e^{i\tilde{k}x+i\tilde{l}y}
                  (\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)\tilde{\psi}_{-k-l}
                     e^{-i\tilde{k}x-i\tilde{l}y}
             \right) d x d y \\
         &=& \Dinv{2}\sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                 (\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)^2
                     \tilde{\psi}_{kl}\tilde{\psi}_{-k-l}
              \int_0^{L_x}\int_0^{L_y} d x d y \\
         &=& L_x L_y \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
                 \Dinv{2}(\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)^2 |\tilde{\psi}_{kl}|^2\\
         &=&  L_x L_y \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L}
              \Dinv{2}\left[ \left(\frac{2\pi k}{L_x}\right)^2
                     +\left(\frac{2\pi l}{L_y}\right)^2 \right]^2
                   |\tilde{\psi}_{kl}|^2.
    \end{eqnarray*}
    %
    したがって波数ごとのエンストロフィー密度 ${\cal Q}(k,l,t)$が定義できて,
    %
    \begin{equation}
      {\cal Q}(k,l,t) 
         =  \Dinv{2}(\tilde{k}^2+\tilde{l}^2)^2 |\tilde{\psi}_{kl}|^2
         =  \Dinv{2}\left[ \left(\frac{2\pi k}{L_x}\right)^2
                   +\left(\frac{2\pi l}{L_y}\right)^2 \right]^2
                   |\tilde{\psi}_{kl}|^2.
    \end{equation}
    %
    このとき全エンストロフィーは
    \begin{equation}
      Q(t) =  L_x L_y \sum_{k=-K}^{K} \sum_{l=-L}^{L} {\cal Q}(k,l,t).
    \end{equation}

\section{実験設定}



\end{document}


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