% 表題  移流方程式の差分解法: MPDATA スキーム  2 次元 MPDATA
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% 履歴  1997/11/21 小高正嗣
%       1997/11/25 小高正嗣
%       1998/01/20 小高正嗣
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\section{2 次元 MPDATA}

     続いて 2 次元の場合 MPDATA スキームを導出する. 2 次元の場合も
     \Deqref{eq: 7}式に $\psi _{i}^{n+1}$ を代入するところまでは 1 次元
     の場合と同様に計算する.

     \begin{eqnarray}
       \left.\DP{\psi }{t}\right|_{i,j}^{n}
       &=& -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right|_{i,j}^{n}
         + \DP{}{x}\left.\left(\frac{1}{2}|u|\Delta x\DP{\psi }{x}\right)
         \right|_{i,j}^{n} \nonumber \\
       &&-\left.\DP{}{y}(v\psi )\right|_{i,j}^{n}
         + \DP{}{y}\left.\left(\frac{1}{2}|v|\Delta y\DP{\psi }{y}\right)
         \right|_{i,j}^{n} - \frac{1}{2}\left.\DP[2]{\psi }{t}\right|_{i,j}^{n}
         \Delta t .
       \Deqlab{eq: 18}
     \end{eqnarray}

     右辺第 3 項の $t$ の 2 階微分を空間微分に置き換える.
     このときクロスタームが現れることに注意.

     \begin{eqnarray*}
       \DP[2]{\psi }{t} 
       &=& - \DP{}{x}\left
         [u \left( -\DP{}{x}(u\psi ) -\DP{}{y}(v\psi ) \right) \right]
       - \DP{}{y}\left
         [v \left( -\DP{}{x}(u\psi ) -\DP{}{y}(v\psi ) \right) \right] \\
       &=& \DP{}{x}\left[  u^{2} \DP{\psi }{x} + uv \DP{\psi }{y}\right]
       + \DP{}{y}\left[  v^{2} \DP{\psi }{y} + uv \DP{\psi }{x}\right]
     \end{eqnarray*}
     
     これを代入して,
     
     \begin{eqnarray}
       \left.\DP{\psi }{t}\right|_{i,j}^{n}
       &=& -\left.\DP{}{x}(u\psi )\right|_{i,j}^{n} 
           -\left.\DP{}{y}(v\psi )\right|_{i,j}^{n} \nonumber \\
       && + \DP{}{x}\left.\left[\frac{1}{2}(|u|\Delta x-\Delta t u^{2})
           \DP{\psi }{x} - \frac{1}{2}\Delta t uv\DP{\psi }{y}\right]
       \right|_{i,j}^{n} \nonumber \\
       && + \DP{}{y}\left.\left[\frac{1}{2}(|v|\Delta y-\Delta t v^{2})
           \DP{\psi }{y} - \frac{1}{2}\Delta t uv\DP{\psi }{x}\right]
       \right|_{i,j}^{n}, \Deqlab{eq: 19}
     \end{eqnarray}

     となる. 反拡散速度 $\tilde{u}, \tilde{v}$ は,

     \begin{eqnarray}
       \tilde{u} &\equiv &\frac{1}{\psi }
       \left[\frac{1}{2}(|u|\Delta x-\Delta t u^{2})
           \DP{\psi }{x} - \frac{1}{2}\Delta t uv \DP{\psi }{y}\right],
         \Deqlab{eq: 20} \\
       \tilde{v} &\equiv &\frac{1}{\psi }
       \left[\frac{1}{2}(|v|\Delta y-\Delta t v^{2})
           \DP{\psi }{y} - \frac{1}{2}\Delta t uv \DP{\psi }{x}\right], 
         \Deqlab{eq: 21}
     \end{eqnarray}
     
     と与えられる. 実際に行なう手順は 1 次元のときと同様である.

     \begin{screen}
     \begin{enumerate}
       \item 普通に上流差分を計算する.

     \begin{eqnarray}
       \psi _{i,j}^{*} &=& \psi _{i,j}^{n} - 
       \{F_{x}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i+1,j}^{n},u_{i+\frac{1}{2},j}^{n}) - 
       F_{x}(\psi _{i-1,j}^{n},\psi _{i,j}^{n},u_{i-\frac{1}{2},j}^{n})\}
       \nonumber \\
       && - \{F_{y}(\psi _{i,j}^{n},\psi _{i,j+1}^{n},v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n})
       - F_{y}(\psi _{i,j-1}^{n},\psi _{i,j}^{n},v_{i,j-\frac{1}{2}}^{n})\}. 
       \Deqlab{eq: 22}
     \end{eqnarray}
     
       \item $\tilde{u}, \tilde{u}$ を求め, それを用いて上流差分を計算する.

     \begin{eqnarray}
       \psi _{i,j}^{n+1} &=& \psi _{i,j}^{*} - 
       \{F_{x}(\psi _{i,j}^{*},\psi _{i+1,j}^{*},\tilde{u}_{i+\frac{1}{2},j})
       - F_{x}(\psi _{i-1,j}^{*},\psi _{i,j}^{*},\tilde{u}_{i-\frac{1}{2},j})\}
       \nonumber \\
       && -\{F_{y}(\psi _{i,j}^{*},\psi _{i,j+1}^{*},
       \tilde{v}_{i,j+\frac{1}{2}}) - 
       F_{y}(\psi _{i,j-1}^{*},\psi _{i,j}^{*},\tilde{v}_{i,j-\frac{1}{2}})\}. 
       \Deqlab{eq: 23}
     \end{eqnarray}

     ただし,

     \begin{eqnarray}
       \tilde{u}_{i+\frac{1}{2},j} &=& 
       \frac{1}{\psi _{i+\frac{1}{2},j}^{*}}
       \left[\frac{1}{2}(|u_{i+\frac{1}{2},j}^{n}|\Delta x-\Delta t 
         (u_{i+\frac{1}{2},j}^{n})^{2})
         \frac{\psi _{i+1,j}^{*}-\psi _{i,j}^{*}}{\Delta x}
         \right. \nonumber \\
      &&   - \left.\frac{1}{2}\Delta t u_{i+\frac{1}{2},j}^{n}
        v_{i+\frac{1}{2},j}^{n} 
           \frac{\psi _{i+\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}^{*}-
           \psi _{i+\frac{1}{2},j-\frac{1}{2}}^{*}}
           {\Delta y}\right], \Deqlab{eq: 24} \\
       \tilde{v}_{i,j+\frac{1}{2}} &=& 
       \frac{1}{\psi _{i,j+\frac{1}{2}}^{*}}
       \left[\frac{1}{2}(|v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}|\Delta y-\Delta t 
         (v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n})^{2})
           \frac{\psi _{i,j+1}^{*}-\psi _{i,j}^{*}}{\Delta y}
         \right. \nonumber \\
      &&   - \left.\frac{1}{2}\Delta t u_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}
        v_{i,j+\frac{1}{2}}^{n} 
           \frac{\psi _{i+\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}^{*}
           -\psi _{i-\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}^{*}}
           {\Delta x}\right]. \Deqlab{eq: 25}
     \end{eqnarray}
     \end{enumerate}
     \end{screen}

     なお\Deqref{eq: 24},\Deqref{eq: 25}式において,

     \begin{eqnarray}
       \psi _{i+\frac{1}{2},j}^{*}&=&\frac{1}{8}
       \left( \psi _{i+1,j+1}^{*} + \psi _{i,j+1}^{*} +
              2\psi _{i+1,j}^{*} + 2\psi _{i,j}^{*} +
          \psi _{i+1,j-1}^{*} + \psi _{i,j-1}^{*} \right), \Deqlab{eq: 26} \\
       \psi _{i+\frac{1}{2},j+\frac{1}{2}}^{*}&=&\frac{1}{4}
       \left( \psi _{i+1,j+1}^{*} + \psi _{i,j+1}^{*} +
              \psi _{i+1,j}^{*} + \psi _{i,j}^{*} \right), \Deqlab{eq: 27} \\
       u_{i,j+\frac{1}{2}}^{n}&=&\frac{1}{4}
       \left( u_{i+\frac{1}{2},j+1}^{n} + u_{i-\frac{1}{2},j+1}^{n} +
              u_{i+\frac{1}{2},j}^{n} + u_{i-\frac{1}{2},j}^{n} \right), 
            \Deqlab{eq: 28}
     \end{eqnarray}

     などとする.