%表題 連続体力学: Navier-Stokes 方程式 % %履歴 1989-04-21 竹広真一 流体力学の基礎 / 流体力学の基礎方程式 % 1990-04-23 保坂征宏 % 1996-04-23 林 祥介 「基礎法則」へ % 2000-05-24 竹広真一 「Navier-Stokes 方程式」として独立 % %\documentstyle[a4j,12pt,ascmac,twoside,dennou,Depspic]{jarticle} \documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{Dennou6} \Dtitle[等方的流体]{流体力学: ニュートン流体の基礎方程式\\ (ナビエ-ストークス方程式とその仲間)} \Dauthor{林 祥介, 竹広 真一} \Ddate[2000/05/24]{2000 年 05 月 24 日} \Dpath{/riron/renzoku/housoku/src/} \Dnoparindent \Dparskip \begin{document} %\pagenumbering{roman} \maketitle \tableofcontents %\clearpage %\pagenumbering{arabic} \begin{abstract} ここではニュートン流体の運動方程式とエネルギー方程式 あるいは内部エネルギー, エンタルピー, エントロピーの式を 導く. 等方的な流体の運動方程式を特に Navier-Stokes 方程式という. 場合によってはさらに非圧縮である近似を施したものを そのように呼ぶこともある. エントロピーの式より全エントロピーが増大するという 熱力学第 2 法則(?)から, 粘性・熱拡散係数が正であることが 導かれる. \end{abstract} %-------------------------------------------------------------------- \Dparskip %-------------------------------------------------------------------- \newpage \section{質量保存則} \section{Navier-Stokes 方程式} 「連続体力学 : 基礎法則」の運動方程式に 「連続体力学 : 構成方程式」での ニュートン流体の構成方程式の表現を代入することにより, ニュートン流体の運動方程式が得られる. \begin{eqnarray} \rho \left( \DP{v_i}{t} + v_k \DP{v_i}{x_k} \right) &=& - \DP{p}{x_i} + \DP{}{x_i} ( \zeta \cdot \Ddiv \Dvect{v} ) \nonumber \\ & & + \DP{}{x_k} \left\{ \eta \left( \DP{v_i}{x_k} + \DP{v_k}{x_i} - \frac{2}{3} \DP{v_l}{x_l} \right) \right\} - \rho \DP{\Phi}{x_i} %s + \rho f_{i} . \end{eqnarray} これを Navier-Stokes 方程式\footnotemark[1]という. \footnotetext[1] {Navier-Stokes 方程式という名称は非圧縮の場合の式について使われる ものであると思っていた(例えば, 今井 1973)が, 最近の流行(例えば, 流体力学ハンドブック (1987) P.14)では 圧縮性がある場合について Navier-Stokes 方程式と呼び, 非圧縮の場合には 非圧縮の Navier-Stokes 方程式と呼ぶようである. } 特に, 次の仮定が成り立つ場合, 運動方程式 (6) は簡単な形になる. \begin{itemize} \item 非圧縮流体である, すなわち ${\displaystyle \frac{d \rho}{d t} = 0}$ とみなせる. このとき, ${\displaystyle \Ddiv \Dvect{v} = \DP{v_l}{x_l} = 0 }$ である. \item 粘性率 $\eta$ が流体中で大きく変化しない. \end{itemize} \begin{equation} \rho \left( \DP{v_i}{t} + v_k \DP{v_i}{x_k} \right) = - \DP{p}{x_i} + \eta \DP[2]{v_i}{x_k} - \rho \DP{\Phi}{x_i} % + \rho f_{i} . \end{equation} これが非圧縮での Navier-Stokes 方程式\footnotemark[1]である. ベクトル形式で書けば \begin{equation} \rho \left( \DP{\Dvect{v}}{t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \Dvect{v} \right) = - \Dgrad p + \eta \nabla^{2} \Dvect{v} - \rho \cdot \Dgrad \Phi % + \rho \Dvect{f} . \end{equation} あるいは $\rho$ で割って \begin{equation} \DP{\Dvect{v}}{t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \Dvect{v} = - \frac{1}{\rho} \Dgrad p + \nu \nabla^{2} \Dvect{v} - \Dgrad \Phi % + \Dvect{f} . \end{equation} $\nu \equiv \displaystyle{ \frac{\eta}{\rho} }$ \ は動粘性係数（率）と呼ばれる. \section{ニュートン流体のエネルギー保存則} ここでは, 等方的なNewton流体における, 内部エネルギー, エンタルピー, エントロピーの時間変化の式を 書き下す. まず, 等方的な流体についての $ \sigma_{ik} $の表式 $(6)$ を 用いて粘性散逸項を表現しておく. \begin{displaymath} \sigma_{ik}' \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } = \eta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right) + \zeta \delta_{ik} \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }. \end{displaymath} 右辺第１項は括弧の中身が対称であることに注意して, \begin{eqnarray*} & & \eta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)\\ &=& \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right) \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right) \\ &=& \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^2 + \frac{1}{2} \eta \cdot \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{m} }{ \partial x_{m} } \cdot \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right) \\ &=& \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l}}{ \partial x_{l}} \right)^{2}. \end{eqnarray*} 右辺第２項は \begin{eqnarray*} \zeta \delta_{ik} \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } &=& \zeta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{i} } \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \\ &=& \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2}. \end{eqnarray*} \newpage よって, 等方的なNewton流体についての 内部エネルギー $\cdot$ エンタルピー $\cdot$ エントロピーの式は 次のようになる. \begin{eqnarray} & & \frac{ \partial ( \rho \varepsilon )}{ \partial t } + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) = \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2} + \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2} - p \Ddiv \Dvect{v} - \Ddiv \Dvect{q}, \\ & & \frac{ \partial ( \rho h )}{ \partial t } + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) = \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2} + \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2} - \Ddiv \Dvect{q} + \frac{dp}{dt}, \\ & & \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s = \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2} + \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2} - \Ddiv \Dvect{q}. \end{eqnarray} 特に, \underline{非圧縮流体} のとき, $(17)$〜$(19)$ は次のようになる. \begin{eqnarray} & & \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho \varepsilon ) + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) = \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)^{2} - \Ddiv \Dvect{q}, \\ & & \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho h ) + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) = \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)^{2} - \Ddiv \Dvect{q} + \frac{dp}{dt}, \\ & & \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s = \frac{1}{2} \eta \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} } + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)^{2} - \Ddiv \Dvect{q}. \end{eqnarray} また, \underline{粘性 $\cdot$ 熱流の効果を無視できる} 場合, $(17)$〜$(19)$ は次のようになる. \begin{eqnarray} & & \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho \varepsilon ) + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) = - p \cdot \Ddiv \Dvect{v}, \\ & & \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho h ) + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) = \frac{dp}{dt}, \\ & & \left( \frac{\partial}{\partial t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s = 0. \end{eqnarray} \section{全エントロピーの時間変化} \section{まとめ} \subsection{ニュートン流体の方程式系} \subsection{非圧縮ニュートン流体の方程式系} %====================================================================== \newpage \section{参考文献} \begin{description} \item Batchelor,G.K., 橋本英典 他 訳 : 入門流体力学, 東京電機大学出版局, 614pp. \item Landau,L.D., Lifshitz,E.M., 竹内 均 訳, 1970 : 流体力学1, 東京図書, 280pp. \item 今井　功, 1973 : 流体力学(前編), 裳華房, 428pp. \item Glansdorff,P.,Prigogine,I., 松本 元 ,竹山 脇三 訳, 1977 : 構造・安定性・ゆらぎ. みすず書房, 297pp. \item 中村 育雄, 1998 : 流体解析ハンドブック, 共立出版, 538pp. \end{description} \vspace{2em} %====================================================================== \newpage \section{謝辞} 本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 原作版は竹広真一による「流体力学の基礎方程式」 (1989-04-21) であり, 保坂征宏による改定 (1990-04-23) を経て, 林祥介/竹広真一によって「連続体力学: 基礎法則」として書き直された (1996-04-23). 構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてに 感謝するものである. 本ドキュメントは \begin{quote} http://www.gfd-dennou.org/library/rironn/renzoku/housoku/pub/ \end{quote} において, 無保証無責任を原則として公開している. 原著作者ならびにその他の資源提供者(図等の版元等を含む) の諸権利に抵触しない(不利益を与えない)限り, 資源は自由に利用していただいて構わない. \copyright 林祥介・竹広真一 (Y.-Y. Hayashi and S. Takehiro) 1989. \end{document} % Local Variables: % TeX-command-default: "pLaTeX" % End: