%表題 連続体力学: 構成方程式 % %履歴 89/04/21 竹広真一 流体力学の基礎 % 90/04/23 保坂征宏 % 96/05/24 林 祥介 地球流体電脳倶楽部資源「応力」へ % 2000/05/24 竹広真一 「構成方程式」へ %\documentstyle[a4j,ascmac,dennou]{jarticle} %\documentstyle[a4j,ascmac,twoside,dennou,Depspic]{jarticle} \documentclass[a4j,12pt,notitlepage]{jarticle} \usepackage{Dennou6} \Dtitle{連続体力学: 構成方程式} \Dauthor{地球流体電脳倶楽部} \Ddate[2000/05/24]{2000 年 5 月 24 日} \Dpath{/riron/kiso/renzokutai/kousei-eq/} \begin{document} \pagenumbering{roman} \maketitle \tableofcontents %\clearpage \pagenumbering{arabic} \begin{abstract} 応力を連続体を記述する座標(変形)および熱力学量などと 関係づける法則である\underline{構成方程式}(constitution equation)を導出する. 良く行われる定式化は, 応力を\underline{歪み} (strain) で与えるものである. 歪みは連続体の変形を定式化したものである. 連続体内の 2 点間の距離の偏差で定式化される. 類似のものに歪み速度がある. これは連続体内の 2 点での速度の勾配で定式化される. 応力と歪み速度とを比例関係であたえる連続体を\underline{ニュートン流体}という. 応力と歪みそのものを比例関係(フックの法則)であたえる 連続体を\underline{線形弾性体}という. \end{abstract} %====================================================================== \section{流体} \subsection{流体の定義} 流体力学では, `変型しやすい' 物質の巨視的な振舞いを扱う. 物質は `変型しやすい' 連続体として扱われ, 流体と呼ばれる. \subsection{流体の定義} \begin{itemize} \item 定義\\ 流体とは, \underline{`変型しやすい' 連続体} である. 物質を流体として扱うとは, その振舞いを `変型しやすい' 連続体として近似することである. \vspace{1em} \underline{`変型しやすい'}とは, わずかに力を加えても変型する, ということであり, 次のように言い換えられる. \vspace{1em} \item 定理\\ 流体には, 静止状態において応力が面の法線方向にしか現われず, しかもその力は面を押す向きに働く\footnotemark[1]. \footnotetext[1]{この力を圧力という. } \item 定理の証明\\ 静止状態において接線方向の応力が存在すると仮定する. このとき, 考えている面をはさんで隣りあった部分には, 同じ大きさで逆向きの力が働く(作用反作用の法則). 流体は定義により, `変型しやすい' ので, 運動が生じる(図2). これは静止状態であることに反する. したがって, 静止状態では, 流体中に接線方向の応力は存在しない. また, 法線方向の力が面を引っ張る向きに働けば, その部分は裂けて, 真空状態が生じる(図3). したがって, 法線方向の応力は, 面を押す向きに働かなければならない. \vspace{40mm} \begin{center} 図2 \vspace{40mm} 図3 \end{center} \end{itemize} \subsection{ニュートン流体の構成方程式} 流体中に働く応力は, 流体を構成する物質の性質と流体の運動状態に依存する. 静止流体中では応力は面に垂直な方向しか現われず, しかも面を押す向きに働く. 流体が静止していないときは, 一般に速度の空間勾配 ${\displaystyle \DP{v_k}{x_l} }$ が存在し, 流体同士の引きずりあいによる応力が働く. ${\displaystyle u_{kl} \equiv \DP{v_k}{x_l} }$ を速度勾配テンソルという. 応力は速度勾配テンソル $u_{kl}$ の関数と考えるのが自然である. ここでは, この関数形を求める. \subsubsection{仮定} 表式の決定に当たり, ここでは次の2つの仮定をする. \begin{itemize} \item 速度勾配が十分小さい. \item 流体が等方的である. \end{itemize} \subsubsection{$\sigma_{ij}$ の速度勾配テンソル $u_{kl}$ による展開} 速度勾配が小さいので, $\sigma_{ij}$ を $u_{kl}$ で展開し, 2次以上の項を微小として無視する\footnotemark[1]. \footnotetext[1]{ 応力が変型速度の1次式で表される流体を \ Newton 流体 (Newtonian Fluid), そうでないものを非 Newton 流体 (Non-Newtonian Fluid) という. ここでは\ Newton 流体を考えている. } \begin{displaymath} \sigma_{ij} = ( \sigma_{ij})_{0} + \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} u_{kl} + O (u_{kl}^{2}). \end{displaymath} \subsubsection{速度勾配テンソル $u_{kl}$ の分解} 速度勾配テンソル $u_{kl}$ は 対称部分と反対称部分に分けることができる. \begin{displaymath} u_{kl} = \frac{1}{2} \cdot e_{kl} + \frac{1}{2} \cdot \Omega_{kl}, \end{displaymath} ただし \begin{eqnarray*} e_{kl} & \equiv & \DP{v_k}{x_l} + \DP{v_l}{x_k}, \\ \Omega_{kl} & \equiv & \DP{v_k}{x_l} - \DP{v_l}{x_k} = - \varepsilon_{klm} \cdot \omega_{m}. \end{eqnarray*} $e_{kl}$ は変型速度テンソル, $\omega_{m}$ は渦度の $m$ 方向の成分である \footnotemark[1]. \footnotetext[1]{$ \omega_m \equiv \epsilon_{ijm} \DP{v_j}{x_i} $} したがって $\sigma_{ij}$ はつぎのように表わされる. \begin{eqnarray} \sigma_{ij} &=& ( \sigma_{ij})_{0} + \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} ( \frac{1}{2} e_{kl} - \frac{1}{2} \epsilon_{klm} \omega_{m}) \\ \nonumber &=& ( \sigma_{ij})_{0} + a_{ijkl} e_{kl} + b_{ijm} \omega_{m} + O(u_{kl}^{2}). \end{eqnarray} ただし, ${\displaystyle a_{ijkl} = \frac{1}{2} \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} , b_{ijm} = - \frac{1}{2} \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} \epsilon_{klm} }$ である. \subsubsection{$ (\sigma_{ij})_{0}$ の表式} 流体が静止しているときは流体中に働く応力は, 面に垂直な方向に押す向きに働く圧力 $p$ だけである. したがって, 応力テンソルは ${\displaystyle \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} }$ と表される. 一方, $e_{kl} = 0, \omega_{m} = 0$ であるから (5)式に代入, 移項することにより, \begin{displaymath} (\sigma_{ij})_{0} = -p \delta_{ij} . \end{displaymath} \subsubsection{$ b_{ijm} $ の表式} 流体が剛体回転しているときも速度のずれによる応力は存在せず, 圧力だけである. 今, 流体が$x$軸を回転軸として 角速度 {\boldmath $\Omega$} で剛体回転しているとする. 速度は \ $\Dvect{v} =\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r} $ より \begin{eqnarray*} \mbox{\boldmath $v$} = (0, \Omega z,- \Omega y),& & \\ \Omega = \mid \mbox{\boldmath $\Omega$} \mid .& & \end{eqnarray*} このとき $e_{kl} = 0, \ \omega_{1} = 2 \Omega, \ \omega_{2} = \omega_{3} = 0$ である. したがって, 応力テンソルは \begin{displaymath} \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + b_{ij1} \cdot 2 \Omega. \end{displaymath} 応力は圧力だけであるから $ \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} $ となる. したがって, $b_{ij1} = 0$ である. 同様に, $y$ 軸, $z$ 軸回転について考えると, $\omega_{m}$ の係数 $b_{ijm}$ はすべて 0 となる. \begin{displaymath} b_{ijm} = 0. \end{displaymath} \subsubsection{$ a_{ijkl}$の表式} 流体が等方的であるという仮定により, $e_{kl}$ の係数 $a_{ijkl}$ は 4階の等方性テンソル でなければならない\footnotemark[2]. \footnotetext[2]{4階の等方テンソルが次の表式であることについては, 別シリーズ`テンソルの基礎'参照 . } \begin{displaymath} a_{ijkl} = A \delta_{ij} \delta_{kl} + B \delta_{ik} \delta_{jl} + C \delta_{il} \delta_{jk} . \end{displaymath} \subsubsection{応力テンソルの表式} 以上より, 応力テンソルは次のように書ける. \begin{eqnarray*} \sigma_{ij} & = & - p \delta_{ij} + A \delta_{ij} e_{kk} + B e_{ij} + C e_{ji} \\ & = & - p \delta_{ij} + A \delta_{ij} e_{kk} + (B+C) e_{ij}. \end{eqnarray*} ここであらためて ${\displaystyle A = \frac{\lambda}{2} , B+C = \mu }$ とおく. また, $e_{kk} = 2 {\displaystyle \DP{v_k}{x_k}} = 2 \Ddiv\Dvect{v} $ と変型することにより 応力テンソルの表現が得られる. \vspace{5mm} \begin{equation} \sigma_{ij} = - p \delta_{ij} + \mu \left( \DP{v_i}{x_j} + \DP{v_j}{x_i} \right) + \lambda \delta_{ij} \cdot \Ddiv\Dvect{v}. \end{equation} \vspace{5mm} $\mu$ を粘性係数（率）, $\lambda$ を第2粘性係数（率）という. \vspace{10mm} 応力テンソルの表式は, さらに次の様に変形されることも多い. \begin{displaymath} \sigma_{ij} = - p \delta_{ij} + \mu \left( \DP{v_i}{x_j} + \DP{v_j}{x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \DP{v_l}{x_l} \right) + (\lambda + \frac{2}{3} \mu ) \delta_{ij} \cdot \Ddiv\Dvect{v}. \end{displaymath} すなわち, \vspace{5mm} \begin{equation} \sigma_{ij} = - p \delta_{ij} + \eta \left( \DP{v_i}{x_j} + \frac{v_j}{x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \DP{v_l}{x_l} \right) + \zeta \delta_{ij} \cdot \Ddiv\Dvect{v}. \end{equation} $\eta \equiv \mu$ は粘性係数（率）である. ${\displaystyle \zeta \equiv \lambda+\frac{2}{3}\mu}$ も 第2粘性係数（率）といわれる\footnotemark[1]. \footnotetext[1]{$\lambda$ と $\zeta$ を区別するために, 一方を第2粘性係数（率）, もう一方を体積粘性係数（率）とすることもある. しかし, どちらをどう呼ぶかは, 好みの問題らしい. また, $\mu$ と $\lambda$ , $\eta$ と $\zeta$ は それぞれペアとして使われる. 以後, ここでは, $\eta$ と $\zeta$ の組合せの方を用いる. } \section{弾性体} \subsection{弾性体の定義} \subsection{線形弾性体の構成方程式} %====================================================================== \section{参考文献} \begin{description} \item Batchelor,G.K., 橋本英典 他 訳 : 入門流体力学, 東京電機大学出版局, 614pp. \item Landau,L.D., Lifshitz,E.M., 竹内 均 訳, 1970 : 流体力学1, 東京図書, 280pp. \item 今井　功, 1973 : 流体力学(前編), 裳華房, 428pp. \end{description} \vspace{2em} %====================================================================== {\Large \bf 謝辞} \vspace{1em} 本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 原作版は竹広真一による「流体力学の基礎」 (89/04/21) であり, 保坂征宏による改定 (90/04/23) を経て, 林祥介によって地球流体電脳倶楽部版「連続体力学の基礎」 として書き直された (96/04/23). さらに竹広真一によって「連続体力学 : 構成方程式」に 分割・編集された(2000/05/24). 構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてにも 感謝しなければならない. \end{document}