%表題 惑星の日射量の年変化 % %履歴 91/02/22 佐藤正樹 D:\DOC\D論\文書\NISSHA1.TEX % 91/03/15 佐藤正樹 D:\DOC\D論\文書\NISSHA1.TEX % % \Zsection{概観} 惑星の大気上端に入射する日射量を計算する. \Zsection{目次} \begin{description} \item 記号 \item 日射量, 日照時間, 惑星の軌道 \item まとめ \item パラメーター \item プログラム \item 計算結果 \item 参考資料 \item 参考文献 \end{description} \newpage \Zsection{記号} 次の記号を用いる(図1を参照のこと). \begin{center} \begin{tabular}{ll} $I_{\odot}$ & 太陽の全放射量 \\ $a$ & 軌道長半径 \\ $b$ & 軌道長半径 \\ $e$ & 離心率 \\ $\theta_{p}$ & 赤道傾斜角 \\ $T$ & 公転周期 \\ $T_{d}$ & 自転周期 \\ $\Omega$ & 自転角速度 \\ $t$ & 時刻(近日点で 0 とする) \\ $t_{0}$ & 春分点から測った近日点での時刻 \\ $\Phi$ & 惑星の位置をあらわす角度(近日点で 0 とする) \\ $\Phi_{0}$ & 春分点から測った近日点での角度 \\ $r$ & 惑星--太陽間の距離 \\ $R$ & 惑星半径 \\ $\theta$ & 緯度 \\ $\phi$ & 経度 \\ $S$ & 惑星が受ける単位面積当りの日射量 \\ $F$ & 入射太陽項 \\ $I_{d}$ & 一日積算日射量 \\ $\overline{F}$ & 日平均日射量 \\ $\delta$ & 太陽傾斜角 \\ $H$ & 時角 \\ $H_{0}$ & 日入時の時角 \\ $\zeta$ & 太陽の天頂角 \\ $t_{\mbox{日}}$ & 日照時間 \end{tabular} \end{center} \newpage \vspace*{200mm} \begin{quote} \begin{description} \item[図1] 惑星の軌道, 惑星の向きと日射の向きの関係. \end{description} \end{quote} \newpage \Zsection{日射量, 日照時間, 惑星の軌道} \Zsubsection{太陽の天頂角} \vspace*{100mm} \begin{quote} \begin{description} \item[図2] 太陽の天頂角. \end{description} \end{quote} 時角を $H$, 太陽の傾斜角を $\delta$ とする. $H$, $\delta$ の表式は後で与える. 惑星表面の緯度 $\theta$, 時角 $H$ で指定される位置 P における 太陽の天頂角 $\zeta$ を求めよう. \vspace{10mm} 惑星の中心を原点 O として座標系を図2のようにはる. O から太陽 Sun に向く単位ベクトルは, \begin{displaymath} ( \cos \delta, 0, \sin \delta ), \end{displaymath} OP に向く単位ベクトルは, \begin{displaymath} ( \cos \theta \cos H, \cos \theta \cos H, \sin \theta ), \end{displaymath} であるから, 天頂角 $\zeta$ は, \begin{equation} \cos \zeta = \cos \theta \cos H \cos \delta + \sin \theta \sin \delta, \label{eq:1} \end{equation} によって与えられる. \newpage \Zsubsection{日平均日射量} 太陽の全放射量を $I_{\odot}$ とし, 惑星が太陽から距離 $r$ のところにあるときに 惑星が受ける単位面積当りの日射量を $S(r)$ とする. このとき, \begin{equation} I_{\odot} = 4 \pi r^{2} S(r), \label{eq:2} \end{equation} が成り立つ. \vspace{10mm} 惑星上の点P(図2)で太陽の天頂角が $\zeta$ であるときの日射量は, \begin{equation} F(\theta, H) = S(r) \cos \zeta, \label{eq:3} \end{equation} である. 日出, 日入の時刻を $-t_{\mbox{日}}/2$, $t_{\mbox{日}}/2$, 時角を $-H_{0}$, $H_{0}$ とする. $t_{\mbox{日}}$ は日照時間である. すると, 日出から日入までの全日射量 $I_{d}$ は次のように計算される. \begin{eqnarray} I_{d}(\theta) &=& \int_{-t_{\mbox{日}}}^{t_{\mbox{日}}} F(\theta, H) dt = \int_{-H_{0}}^{H_{0}} F(\theta, H) \D{}{t}{H} dt \nonumber \\ &=& \frac{S(r)}{\Omega} \int_{-H_{0}}^{H_{0}} \cos \zeta dH \nonumber \\ &=& \frac{S(r)}{\Omega} \int_{-H_{0}}^{H_{0}} ( \cos \theta \cos H \cos \delta + \sin \theta \sin \delta ) dH \nonumber \\ &=& 2 \frac{S(r)}{\Omega} ( \cos \theta \sin H_{0} \cos \delta + H_{0} \sin \theta \sin \delta ). \label{eq:4} \end{eqnarray} \vspace{10mm} $I_{d}$ を自転周期 $T_{d} = 2 \pi / \Omega$ で割れば 日平均日射量を得る. \begin{eqnarray} \overline{F}(\theta) &=& \frac{I_{d}(\theta)}{2 \pi / \Omega} \nonumber \\ &=& \frac{S(r)}{\pi} ( \cos \theta \sin H_{0} \cos \delta + H_{0} \sin \theta \sin \delta ). \label{eq:5} \end{eqnarray} \vspace{10mm} この量は自転周期が公転周期よりも十分い速いときにのみ 日平均日射量としての意味を持つ. しかし自転周期の大きさにかかわらず, 時刻 $t$ において緯度 $\theta$ の緯度円に沿って平均した日射量は これに等しい. \newpage \Zsubsection{日照時間} $H = \pm H_{0}$ で $\zeta = \pi / 2$ である. 天頂角の式 (\ref{eq:1}) にこれを代入すると, \begin{displaymath} 0 = \cos \theta \cos H_{0} \cos \delta + \sin \theta \sin \delta. \end{displaymath} よって, \begin{equation} \cos H_{0} = - \tan \theta \tan \delta. \label{eq:6} \end{equation} ただし, \begin{equation} H_{0} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & : \tan \theta \tan \delta \leq -1 \nonumber \\ \pi & : \tan \theta \tan \delta \geq 1. \end{array} \right. \label{eq:7} \end{equation} 日照時間は, \begin{equation} t_{\mbox{日}} = \frac{2 H_{0}}{\Omega} = \frac{H_{0}}{\pi} T_{d}. \label{eq:8} \end{equation} とあらわされる. \vspace{100mm} \begin{quote} \begin{description} \item [図3] 日照時間 $t_{\mbox{日}}$ [時間], 日積算日射量 $I_{d}$ (沼口(1989)による). \end{description} \end{quote} \newpage \Zsubsection{太陽傾斜角} \vspace*{70mm} \begin{quote} \begin{description} \item [図4] 太陽傾斜角. \end{description} \end{quote} 赤道傾斜角を $\theta_{p}$, 惑星の位置を近日点を基準に測った角度を $\Phi$, 春分点から測った近日点での角度を $\Phi_{0}$ とする. $x$, $y$, $z$ 軸を図4のように取り直すと, ($z$ 軸は紙面に直角な手前向きである) 自転軸の向きは, \begin{displaymath} ( \sin \theta_{p}, 0, \cos \theta_{p} ), \end{displaymath} 太陽の向きは, \begin{displaymath} ( \sin ( \Phi_{0} + \Phi ), \cos ( \Phi_{0} + \Phi ), 0 ), \end{displaymath} である. したがって太陽傾斜角 $\delta$ は, \begin{equation} \sin \delta = - \sin \theta_{p} \sin ( \Phi_{0} + \Phi ), \label{eq:9} \end{equation} によって与えられる. \newpage \Zsubsection{惑星の軌道} \vspace*{70mm} \begin{quote} \begin{description} \item [図5] 惑星の軌道. \end{description} \end{quote} 惑星の軌道をあらわす式を求めよう. 再び $x$, $y$, $z$ 軸を図5のように取り直す. $a$, $b$ は軌道長半径, 短半径, $e$ は離心率である. $a = \sqrt{ 1 - e^{2} } b$ を満たす. \vspace{10mm} 楕円軌道に式は次のように与えられる. \footnotemark \footnotetext{ランダウ・リフシッツ「力学」\S 15 参照} \begin{eqnarray} r &=& a ( 1 - e \cos \xi ), \label{eq:10} \\ t &=& \frac{T}{2 \pi} ( \xi - e \sin \xi ), \label{eq:11} \\ x &=& a ( \cos \xi - e ), \label{eq:12} \\ y &=& a \sqrt{ 1 - e^{2} } \sin \xi. \label{eq:13} \end{eqnarray} ここで $\xi$ は軌道上の位置をあらわすパラメーターである. また, $\Phi$ と $\xi$ との関係は, \begin{equation} \tan \Phi = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{ 1 - e^{2} } \sin \xi} {\cos \xi - e}, \end{equation} あるいは, 公式 $\tan ( \theta / 2 ) = \sin \theta / ( \cos \theta + 1 )$ を用いて, \begin{eqnarray} \tan \frac{\Phi}{2} &=& \frac{\sin \Phi}{\cos \Phi + 1} = \frac{y}{x + r} \nonumber \\ &=& \frac{a \sqrt{ 1 - e^{2} } \sin \xi} {a ( \cos \xi - e ) + a ( 1 - e \cos \xi )} \nonumber \\ &=& \sqrt{ \frac{1 + e}{1 - e}} \frac{\sin \xi}{\cos \xi + 1} \nonumber \\ &=& \sqrt{ \frac{1 + e}{1 - e}} \tan \frac{\xi}{2}. \label{eq:14} \end{eqnarray} 春分点では, $t = t_{0}$, $\Phi = \Phi_{0}$, $\xi = \xi{0}$ とすると, \begin{eqnarray} \tan \frac{\Phi_{0}}{2} &=& \sqrt{ \frac{1 + e}{1 - e}} \tan \frac{\xi_{0}}{2}, \label{eq:15} \\ t_{0} &=& \frac{T}{2 \pi} ( \xi_{0} - e \sin \xi_{0} ), \label{eq:16} \end{eqnarray} となる. \newpage \Zsection{まとめ} \begin{screen} {\bf 惑星が受ける単位面積当りの日射量} \begin{displaymath} S(r) = \frac{I_{\odot}}{4 \pi r^{2}}. \end{displaymath} {\bf 日平均日射量} \begin{displaymath} \overline{F}(\theta, \phi, t) = \frac{S(r)}{\pi} ( \cos \theta \sin H_{0} \cos \delta + H_{0} \sin \theta \sin \delta ). \end{displaymath} {\bf 日入時の時角} \begin{displaymath} H_{0} = \left\{ \begin{array}{ll} \cos^{-1} ( \tan \theta \tan \delta ) & : | \tan \theta \tan \delta | < 1 \nonumber \\ 0 & : \tan \theta \tan \delta \leq -1 \nonumber \\ \pi & : \tan \theta \tan \delta \geq 1. \end{array} \right. \end{displaymath} {\bf 太陽傾斜角} \begin{displaymath} \delta = \sin^{-1} ( - \sin \theta_{p} \sin ( \Phi_{0} + \Phi ) ). \end{displaymath} {\bf 惑星の軌道} \begin{eqnarray*} \tan \frac{\Phi}{2} &=& \sqrt{ \frac{1 + e}{1 - e}} \tan \frac{\xi}{2}, \\ t &=& \frac{T}{2 \pi} ( \xi - e \sin \xi ), \\ r &=& a ( 1 - e \cos \xi ). \end{eqnarray*} {\bf 春分点} \begin{eqnarray*} \tan \frac{\Phi_{0}}{2} &=& \sqrt{ \frac{1 + e}{1 - e}} \tan \frac{\xi_{0}}{2}, \\ t_{0} &=& \frac{T}{2 \pi} ( \xi_{0} - e \sin \xi_{0} ). \end{eqnarray*} \end{screen} 外部パラメーターとして, $I_{\odot}$, $a$, $e$, $\Phi_{0}$, $\theta_{p}$, $T$ を与えれば, $S(t)$, $\delta(t)$, $\Phi(t)$, $\xi(t)$, $r(t)$ は $t$ の関数として, $\overline{F}(\theta, t)$, $H_{0}(\theta, t)$ は $\theta$, $t$ の関数として求まる. \newpage \Zsection{パラメーター} 外部パラメーターとして以下のものを用いた. \begin{center} \begin{tabular}{ll} 太陽の全放射量 & $I_{\odot} = 3.85 \times 10^{26}$ [W] \end{tabular} \end{center} 惑星の軌道要素については次の値を用いた(理科年表, 1990). \begin{center} \begin{tabular}{||c||c|c|c|c||} \hline {\bf 惑星要素} & {\bf 水星} & {\bf 金星} & {\bf 地球} & {\bf 火星} \\ \hline\hline 軌道長半径 $a$ [10$^{11}$ m] & 0.579 & 1.082 & 1.496 & 2.279 \\ 離心率 $e$ & 0.2056 & 0.0068 & 0.0167 & 0.0934 \\ 近日点黄経 $\Phi_{0}$ [度] & 77.441 & 131.564 & 102.908 & 336.018 \\ 赤道傾斜角 $\theta_{p}$ [度] & $\sim$ 0 & 177.3 & 23.44 & 25.19 \\ 公転周期 $T$ [年] & 0.2409 & 0.6152 & 1.0000 & 1.8809 \\ 自転周期 $T_{d}$ [日] & 58.65 & 243.01 & 0.9973 & 1.0260 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{||c||c|c|c|c|c||} \hline {\bf 惑星要素} & {\bf 木星} & {\bf 土星} & {\bf 天王星} & {\bf 海王星} & {\bf 冥王星} \\ \hline\hline 軌道長半径 $a$ [10$^{11}$ m] & 7.783 & 14.294 & 28.750 & 45.044 & 59.151 \\ 離心率 $e$ & 0.0485 & 0.0555 & 0.0463 & 0.0090 & 0.2490 \\ 近日点黄経 $\Phi_{0}$ [度] & 14.311 & 93.003 & 172.997 & 48.118 & 224.142 \\ 赤道傾斜角 $\theta_{p}$ [度] & 3.1 & 26.7 & 97.9 & 29.6 & 121.9 \\ 公転周期 $T$ [年] & 11.862 & 29.458 & 84.022 & 164.774 & 247.796 \\ 自転周期 $T_{d}$ [日] & 0.414 & 0.444 & 0.649 & 0.768 & 6.387 \\ \hline \end{tabular} \end{center} また参考までに次の値を記しておく. \begin{center} \begin{tabular}{ll} 地球での太陽定数 & $S_{\odot} = 1.37 \times 10^{3}$ [W/m$^{2}$] \\ 天文単位 & $A = 1.4597870 \times 10^{11}$ [m] \\ 地球の近日点通過日 & 1月5日2h \end{tabular} \end{center} \newpage \Zsection{プログラム} プログラムは次のファイルである. \begin{description} \item [NISSHA] : 日射の計算 \item [NISSHAZU] : 日射量, 日照時間の時間 - 緯度面での描画 (一般惑星用) \item [NISSHAG] : 日射量, 日照時間の一定時間間隔, 年平均値の 緯度分布のグラフ(一般惑星用) \item [HEKIN] : 日射量, 日照時間の一定期間平均(一般惑星用) \item [TIKYUZU] : 日射量, 日照時間の時間 - 緯度面での描画(地球用) \item [KISETU] : 日射量, 日照時間の季節, 年平均の緯度分布をグラフ (地球用) \item [KISETUDA] : 日射量, 日照時間の季節, 年平均の緯度分布のデータ (地球用) \end{description} パラメーターは, ファイル NISSHA.PAR から NAMELIST として読み込む. \newpage \Zsection{計算結果} 図6(a) $\sim$ (h) に地球における 日平均日射量, 日照時間について計算した結果を示す. \begin{description} \item [図6(a)] : 日平均日射量. \\ TIKYUZU を用いて描画. \item [図6(b)] : 日照時間. \\ TIKYUZU を用いて描画. \item [図6(c)] : 月平均の日平均日射量の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(d)] : 3月ごとの平均, 年平均の日平均日射量の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(e)] : 季節ごとの平均, 年平均の日平均日射量の緯度分布. \\ HEKIN を用いて描画. \item [図6(f)] : 月平均の日照時間の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(g)] : 3月ごとの平均, 年平均の日照時間の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(h)] : 季節ごとの平均, 年平均の日照時間の緯度分布. \\ HEKIN を用いて描画. \end{description} (d), (g) は3月ごと(12-2, 3-5, 6-8, 9-11月)に平均した. 一方, (e), (h) の平均に用いた季節は, 北半球の春分の日を基準に 1年を4等分して季節を定義したものである(図8). \vspace{50mm} \begin{quote} \begin{description} \item [図8] 季節の定義. \end{description} \end{quote} \newpage 図7には諸惑星 (水星, 金星, 地球, 火星, 木星, 土星, 天王星, 海王星, 冥王星) の日平均日射量, 日照時間を示した. それぞれの惑星について, 次の4枚の図が示されている. \begin{quote} \begin{description} \item [(a)] 日平均日射量の緯度分布. \\ 近日点を基準に1年を12点等分して, それぞれの時間における日平均日射量の緯度分布をプロット. NISSHAG を用いて描画. \item [(b)] 日照時間の緯度分布. \\ 近日点を基準に1年を12点等分して, それぞれの時間における日照時間の緯度分布をプロット. 縦軸は地球の1日を単位に時間を測っている. NISSHAG を用いて描画. \item [(c)] 日平均日射量. \\ 横軸はそれぞれの惑星の1年で規格化した時間である. NISSHAZU を用いて描画. \item [(d)] 日照時間. \\ 横軸はそれぞれの惑星の1年で規格化した時間である. 値は地球の1日を単位に時間を測っている. NISSHAZU を用いて描画. \end{description} \end{quote} \newpage \Zsection{参考資料} 図9は List(1971) に載っている日平均日射量を示した. 図6(a) と比べよ. \vspace{150mm} \begin{quote} \begin{description} \item [図9] 理論惑星マニュアル「地球」(保坂征宏, 1990)より. \end{description} \end{quote} \newpage \Zsection{参考文献} \begin{description} \item Blatter, H., Funk, M., Ohmura, A., 1984 : Atlas of solar climate for the period from 200,000 B.P. to 20,000 years A.P., Z\"{u}rcher Geographische Schriften, 10, 164pp. \item 国立天文台編, 1990 : 理科年表, 丸善, 1032pp. \item List,R.J., 1971 : Smithsonian Meteorological Tables. Smithsonian Institution Press, Washington,D.C., 527pp. \item 沼口敦, 「実験的大気大循環論 -- Williams(1988)を中心として」, 89/06/07, 89/07/16. \item 理論惑星マニュアル 「参照編/現象論/地球/太陽放射, 地球放射」, 保坂征宏, 90/09/04. \item 理論惑星マニュアル 「参照編/現象論/金星/金星に関する基本的数字」, 野村竜一, 90/05/02. \end{description} \newpage \begin{quote} \begin{description} \item [図6(a)] : 日平均日射量. \\ TIKYUZU を用いて描画. \item [図6(b)] : 日照時間. \\ TIKYUZU を用いて描画. \item [図6(c)] : 月平均の日平均日射量の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(d)] : 3月ごとの平均, 年平均の日平均日射量の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(e)] : 季節ごとの平均, 年平均の日平均日射量の緯度分布. \\ HEKIN を用いて描画. \item [図6(f)] : 月平均の日照時間の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(g)] : 3月ごとの平均, 年平均の日照時間の緯度分布. \\ KISETU を用いて描画. \item [図6(h)] : 季節ごとの平均, 年平均の日照時間の緯度分布. \\ HEKIN を用いて描画. \end{description} \end{quote} \begin{quote} \begin{description} \item [(a)] 日平均日射量の緯度分布. \\ 近日点を基準に1年を12点等分して, それぞれの時間における日平均日射量の緯度分布をプロット. NISSHAG を用いて描画. \item [(b)] 日照時間の緯度分布. \\ 近日点を基準に1年を12点等分して, それぞれの時間における日照時間の緯度分布をプロット. 縦軸は地球の1日を単位に時間を測っている. NISSHAG を用いて描画. \item [(c)] 日平均日射量. \\ 横軸はそれぞれの惑星の1年で規格化した時間である. NISSHAZU を用いて描画. \item [(d)] 日照時間. \\ 横軸はそれぞれの惑星の1年で規格化した時間である. 値は地球の1日を単位に時間を測っている. NISSHAZU を用いて描画. \end{description} \end{quote} \newpage {\Large {\bf 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星 \\ \\ 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星 }} \\ {\large {\bf (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) \\ \\ (a) (b) (c) (d) }}