\chapter*{Appendix C. ベータ関数とその性質}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Appendix C. ベータ関数とその性質}
  ガンマ関数と密接な関係を持つベータ関数が次の式で定義される。

\begin{equation}
  B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx  \label{beta-func}
\end{equation}
ただし、$m>0,n>0$ である。ベータ関数は次のような性質を持っている。 

\begin{enumerate}
 \item ベータ関数は変数$m,n$ に対して対称である。即ちこの二つの変数を
  交換しても関数の値は変わらない。(\ref{beta-func})式を $x=1-z$ で
  置換すると
   \[  B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx
        =\int_0^1 z^{n-1}(1-z)^{m-1}dz=B(n,m)     \]
  となる。 
 \item ベータ関数は次のようにガンマ関数で示すことができる。
  \begin{equation}
      B(m,n)=(\Gamma(m)\Gamma(n))/ \Gamma(m+n)
   \end{equation}
＜証明＞  \\
まず、ガンマ関数は次の形で記述できる。
\begin{equation}
 \Gamma(n)=\int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}dx
     =2\int_0^\infty y^{2n-1}e^{-y^2}dy    \label{gamma-x-y}
\end{equation}
$\Gamma(m)$,$\Gamma(n)$ を(\ref{gamma-x-y})の形で書けば
\begin{equation}
    \Gamma(m)\Gamma(n)=4\int_0^\infty \int_0^\infty x^{2m-1}y^{2n-1}
          e{-(x^2+y^2)} dxdy. 
\end{equation}
極座標に変換すれば\footnote{極座標変換は以下のようになる。まず$xy$ 座標系の
$x$,$y$ は$r\theta$ 座標系では
  $x=r\cos\theta,$~$y=r\sin\theta$ であるから、
\[  dx=\cos\theta dr-r\sin d\theta,
 ~~dy=-\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta. \]
ここで$xy$ 座標系におけるベクトル$(dx,0)$,$(0,dy)$ 間の面積を考えると、
 \[ |(dx,0)\times(0,dy)|=dxdy.  \nonumber   \]
一方、$r\theta$系におけるベクトル$(\cos\theta dr,-r\sin d\theta)$,
$(-\sin\theta dr,r\cos\theta d\theta)$ 間の面積は
\[  |(\cos\theta dr,-r\sin d\theta)\times(-\sin\theta dr,r\cos\theta d\theta)
      = rdrd\theta.    \]
以上より、$dxdy=rdrd\theta$ となる。また、$\theta$ に関する積分区間が
$0$〜$\pi/2$となるのは、
はじめの積分区間が$x,y$ ともに$0$〜$\infty$、つまり$x>0$,~$y>0$ 
だったからである。}
\[ ~~~~~~=4\int_0^{\pi/2} \int_0^\infty r^{2(m+n-1)}
          e^{-r^2}r\sin^{2n-1}\theta \cos^{2m-1}\theta drd\theta  \]
\[ ~~~~~~=\left[2\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1}\theta 
                   \cos^{2m-1} \theta d\theta \right]
          \left[2\int_0^\infty r^{2(m+n)-1} e^{-r^2} dr \right]  \]
この式の第一項を$\sin^2 \theta=z$ で変換すると
\[   \int_0^1 (1-z)^{m-1}z^{n-1} dz=B(m,n)     \]
となり、また第二項は(\ref{gamma-x-y})式により$\Gamma(m+n)$ である。よって
\[  \Gamma(m)\Gamma(n)=B(m,n)\Gamma(m+n)      \]
となる。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり)
\end{enumerate}