%deffont "thick" xfont "helvetica-bold-r", tfont "/usr/share/fonts/truetype/Arial_Bold.ttf", tmfont "/usr/share/fonts/truetype/kochi/kochi-gothic.ttf", vfont "goth"
%deffont "standard" xfont "helvetica-medium-r", tfont "/usr/share/fonts/truetype/Times_New_Roman.ttf", tmfont "/usr/share/fonts/kochi/kochi-mincho.ttf", vfont "min"
%deffont "typewriter" xfont "courier-medium-r", tfont "/usr/share/fonts/truetype/Courier_New.ttf", tmfont "goth.ttf"
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%% Default settings per each line numbers.
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%default 3 size 3, hgap 10, bar "gray70", vgap 10
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%tab 3 size 3, vgap 40, prefix "            ", icon delta3 "white" 40
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%nodefault
%fore "red", size 8, back "darkblue", font "standard", vgap 0, ccolor "gray"
%bgrad 0 0 128 0 1 "black" "black" "blue" "black" "black" "black" "black" "black"



%center, fore "yellow", font "thick"
シアー不安定の定性的な説明
・擬運動量

%font "standard"

%size 5, fore "coral", font "standard"
九州大学 応用力学研究所

伊賀 啓太

%size 4
iga@riam.kyushu-u.ac.jp


%size 2
%right, fore "green", font "thick"
(2003年夏 GFDセミナー, 2003/09/09 奈井江)          

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

渦位勾配中の擾乱伝播の定性的な説明

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
固有値問題を解くことによって\
系が安定なのか不安定なのかは\
調べられる。
(線形方程式なので数学的には頑張れば解ける。)

→固有値問題は、つじつまが合うように\
全体が一気に解けるので、\
物理的に何が起きているのかのイメージがしにくい。

→どのようにして不安定が起きていくのか、\
一ステップごとに追って考えてみる。

渦位(渦度)がラグランジュ的に保存することを用いる。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

渦位勾配中の擾乱伝播の定性的な説明

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
y=-L付近でy方向の変位があったとする。
渦度の保存より、パターンはx正方向に\
伝播しようとする。

%area  0  0  20 25
%image "tgif/neutral-_1.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 25
%image "tgif/neutral-_2.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 25
%image "tgif/neutral-_3.eps" 0 150 150 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

渦位勾配中の擾乱伝播の定性的な説明

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
同様にy=L付近でy方向の変位があったとすると、\
パターンはx負方向に伝播しようとする。

%area  0  0  20 25
%image "tgif/neutral+_1.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 25
%image "tgif/neutral+_2.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 25
%image "tgif/neutral+_3.eps" 0 150 150 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擾乱が強め合う定性的な説明

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
両者が適当な位相関係でずれて並んでいると、\
互いに強め合う位置関係になる。

%area  0  0  20 35
%image "tgif/couple_1.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 35
%image "tgif/couple_2.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 35
%image "tgif/couple_3.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 35
%image "tgif/couple_1.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0  20 35
%image "tgif/couple_4.eps" 0 150 150 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擾乱が強め合う条件

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
このような互いに強め合う位置関係は、\
両者が互いに逆方向に伝播しようとする時にのみ起こり得る。

%area  0  0 20 30
%image "tgif/condition_y_1.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0 20 30
%image "tgif/condition_y_2.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0 20 30
%image "tgif/condition_y_3.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0 20 30
%image "tgif/condition_y_1.eps" 0 150 150 1
%area  0  0 20 60
%image "tgif/condition_n_1.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0 20 30
%image "tgif/condition_y_2.eps" 0 150 150 1
%area  0  0 20 60
%image "tgif/condition_n_2.eps" 0 150 150 1

%pause
%area  0  0 20 30
%image "tgif/condition_y_3.eps" 0 150 150 1
%area  0  0 20 60
%image "tgif/condition_n_3.eps" 0 150 150 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擾乱が強め合う条件

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
	波自身の伝播方向はお互いに\
逆方向を向いていなければいけない。
	しかし、波は同じ速度で進まなければ\
いけない。

%area  0  0 30 36
%image "tgif/reso-cond.eps" 0 150 150 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擾乱が強め合う条件

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
この結果、不安定が起こるのは、

	波は同じ速度で進まなければいけない。\
(もちろん波長も同じでなければいけない。)
→それぞれの中立波のk-c面上での分散曲線が\
交わるところ。

%pause
	波自身の伝播方向はお互いに\
逆方向を向いていなければいけない。
→その位相速度は、それぞれの波の存在する場所での流速の\
中間の速度の領域を持たなければならない。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬運動量

%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
「波のある場所の基本場の流速」は\
完全には定義できない。
それの代わりとなる、2つの波の条件に関する条件
→波の擬運動量

%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-basic-PV-eq eqn"
%
\begin{displaymath}
     \PD{}{q'}{t} + U \PD{}{q'}{x} + v' \D{}{Q}{y} = 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-basic-PV-eq.eps" 0 350 350 1
%%
%pause
%left, fore "black"
dQ/dyで割ってq'をかけて
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-momentum-derivation-1 eqn"
%
\begin{displaymath}
     q'\PD{}{}{t}\frac{q'}{dQ/dy}
     + q' U \PD{}{}{x}\frac{q'}{dQ/dy} + v'q' = 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-momentum-derivation-1.eps" 0 350 350 1
%%
%pause
%left, fore "black"
つまり
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-momentum-derivation-2 eqn"
%
\begin{displaymath}
     \PD{}{}{t}\frac{q'^2}{2dQ/dy}
     + U \PD{}{}{x}\frac{q'^2}{2dQ/dy}
     + \PD{}{}{x} \frac{1}{2}\left( v'^2 - u'^2 \right)
     - \PD{}{}{y} \left( u'v' \right)= 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-momentum-derivation-2.eps" 0 350 350 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬運動量

%left, fore "black"
x方向に周期的な時は
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-momentum-derivation-3 eqn"
%
\begin{displaymath}
     - \PD{}{}{t}\frac{\overline{q'^2}}{2dQ/dy}
     = - \PD{}{}{y} \left( \overline{u'v'} \right)
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-momentum-derivation-3.eps" 0 350 350 1
%%
%pause
%font "standard", fore "black"
%left, fore "black"
y方向にも積分して
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-momentum eqn"
%
\begin{displaymath}
     \D{}{}{t} \int - \frac{\overline{q'^2}}{2dQ/dy} dy = 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-momentum.eps" 0 350 350 1
%%
%pause
%left, fore "black"
つまり
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-momentum-def eqn"
%
\begin{displaymath}
     M \equiv \int - \frac{1}{2} \frac{\overline{q'^2}}{dQ/dy} dy
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-momentum-def.eps" 0 350 350 1
%%
%left, fore "black"
という量が保存し(擬運動量)、\
その(y方向)フラックスが
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-flux-def eqn"
%
\begin{displaymath}
     F = \overline{u'v'}
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-flux-def.eps" 0 350 350 1
%%
%left, fore "black"
で表されることがわかる。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬運動量

%left, fore "black"
浅水系では\
擬運動量は
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-momentum-def-shallow eqn"
%
\begin{displaymath}
     M \equiv \int \left( \overline{h'u'}
              - \frac{H^2}{2} \frac{\overline{q'^2}}{dQ/dy} \right) dy
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-momentum-def-shallow.eps" 0 350 350 1
%%
%left, fore "black"

フラックスは
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-flux-def-shallow eqn"
%
\begin{displaymath}
     F = H\overline{u'v'}
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-flux-def-shallow.eps" 0 350 350 1
%%
%left, fore "black"
となる。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬運動量を用いた不安定の条件の説明

%left, fore "black"
	擬運動量は保存する。
	一方、擬運動量は振幅の2乗に比例する。

この両者を同時に満たさなければいけない。

%pause
	中立波…\
波の振幅は一定だから擬運動量はもともと一定。
	不安定波…\
波の振幅は時間とともに増加するので、\
それに伴って擬運動量(の絶対値)も増加してしまう?
→両者を両立させるためには擬運動量が0でなければならない。
	減衰波…\
同様に擬運動量は0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬運動量を用いた不安定の条件の説明

%left, fore "black"
一般的には、擬運動量がたまたまきっちり0になるとは考えにくい。
→2つの中立波(従って擬運動量は正でも負でもよい)があって、\
片方が正のもう一方が負の擬運動量を持っていれば、\
両者が適当な振幅の比で重ね合わされば、\
擬運動量の合計は0になりうる。
また、適当に位相をずらして並べば、\
負の擬運動量を持った波の振幅の大きな領域から\
フラックスが正の擬運動量を持った波の振幅の大きな領域に向かい、\
負の擬運動量の部分はますます負に、\
正の擬運動量の部分はますます正に大きくなり、\
全体の振幅が増加していうことができる。
→2つの中立波の共鳴による不安定と考えられる。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬エネルギー

%left, fore "black"
波型の解を仮定した場合
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-vorticity-fourier eqn"
%
\begin{displaymath}
     -ik (c - U) q' + \D{}{Q}{y} v' = 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-vorticity-fourier.eps" 0 350 350 1
%left, fore "black"
の両辺にq*をかけて
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-q^2-derivation-1 eqn"
%
\begin{displaymath}
     -ik (c - U) |q'|^2 + \D{}{Q}{y} v'q'^* = 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-q^2-derivation-1.eps" 0 350 350 1
%%
%pause
%left, fore "black"
両辺をdQ/dyで割って整理すると
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-q^2-derivation-2 eqn"
%
\begin{eqnarray*}
     -ik (c - U) \frac{|q'|^2}{dQ/dy}
     &=& - v' \left( -ikv'^* - \D{}{u'^*}{y} \right)
\\
     &=& ik|v'|^2 + \D{}{}{y}(v'u'^*) - u'^* \D{}{v'}{y}
\\
     &=& ik|v'|^2 + ik|u'|^2 + \D{}{}{y}(v'u'^*) 
\end{eqnarray*}
%endfilter
%image "./eqn/2-q^2-derivation-2.eps" 0 350 350 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬エネルギー

%left, fore "black"
これと複素共役との和をとって
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-fourier-momentum eqn"
%
\begin{displaymath}
     - 2ik c_i \frac{|q'|^2}{dQ/dy} dy
     = \D{}{}{y}(v'u'^* - u'v'^*) 
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-fourier-momentum.eps" 0 350 350 1
%left, fore "black"
領域全体で積分すると
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-fourier-momentum-integral eqn"
%
\begin{displaymath}
     2ik c_i \int -\frac{|q'|^2}{dQ/dy} dy = 0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-fourier-momentum-integral.eps" 0 350 350 1
%left, fore "black"
擬運動量の保存に他ならない。
%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬エネルギー

%left, fore "black"
一方、複素共役との差をとって積分すると
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-fourier-energy eqn"
%
\begin{displaymath}
     \int - (c_r - U) \frac{|q'|^2}{dQ/dy} dy
     = \int \left( |v'|^2 + |u'|^2 \right) dy
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-fourier-energy.eps" 0 350 350 1
%%
%left, fore "black"
となる。
%pause
%left, fore "black"
これは
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-fourier-energy-1 eqn"
%
\begin{displaymath}
     c_r \int - \frac{|q'|^2}{dQ/dy} dy
     = \int \left( |v'|^2 + |u'|^2 - U\frac{|q'|^2}{dQ/dy} \right) dy
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-fourier-energy-1.eps" 0 350 350 1
%left, fore "black"
と書き直すと、\
右辺のような量があって、擬運動量のc_r倍であることを示している。\
(擬エネルギーという。)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%page
%bgrad 0 100 256 0 0 "white" "lightblue"

擬エネルギー

%left, fore "black"
Uが一定の時は
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-fourier-sign eqn"
%
\begin{displaymath}
     (c_r - U) \times \int - \frac{|q'|^2}{dQ/dy} dy
     = \int \left( |v'|^2 + |u'|^2 \right) dy >0
\end{displaymath}
%endfilter
%image "./eqn/2-fourier-sign.eps" 0 350 350 1
%left, fore "black"
となり、\
波の基本流を差し引いた位相速度と擬運動量は同符号である。

%pause
%left, fore "black"
なお、浅水系では
%center, fore "black"
%% 以下, eps ファイルを作る TeX ファイル
%%
%filter "./bin/latex2eps-with-ext-dir.sh 2-fourier-energy-shallow eqn"
%
\begin{eqnarray*}
     &&
     \int (c_r - U) \left( h'u'^* + h'^*u' - \frac{|q'|^2}{dQ/dy} \right) dy
\\
     && \ \ \ \ 
     = \int \left( |v'|^2 + |u'|^2 + g|h'|^2 \right) dy
\end{eqnarray*}
%endfilter
%image "./eqn/2-fourier-energy-shallow.eps" 0 350 350 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%