計算例

Boris and Book(1973) で行なわれたような一次元の計算を行なう. 解く方程式は1次元移流方程式

$$\DP{\rho }{t} + \DP{}{x}(\rho u) = 0,$$

である.

計算設定を以下にまとめる.

• 計算領域は $0\le x \le 1$ をとり, 100個の格子点に分割する. よって格子間隔は $\Delta x = 0.01$ である.
• 速度場は $u=1.0$ で一定とする.
• $\rho$ の初期値は $0\le x \le 0.2$ で $\rho =2.0$ とし, それ以外では $0.5$ とする.
• 境界条件は周期境界条件を与える.
• 時間格子間隔は $\epsilon = u\Delta t/\Delta x=0.2$ となる ようとる.

時間方向にオイラー法を用いて得られた結果をFig.4に示 す. 上段から順に上流差分, フラックス補正を行なわない SHASTA, SHASTA の各スキームを用いた場合であり,左から順に初期値, 100ステッ プ目, 800ステップ目の図である. 上流差分では拡散が効いてしまい時間 とともに初期値分布からのずれは大きくなる. 補正を行なわない SHASTA では(5)式からも明らかであるが波数に依存しない拡散を持つ ため, 上流差分よりも初期値とのずれが大きくなる. 補正を行なった FCT-SHASTA スキームでは初期分布が比較的よく保たれていることがわか る⁴.

図 4: 一次元の計算例. 上から順に上流差分, フラックス補正を行 なわないSHASTA, SHASTA の各スキーム. 左から順に初期値, 100ステッ プ目, 800ステップ目の結果を示す. 各図の点線は解析解を示す.